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共变和反变

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数学里,反变(contravariant,也称逆变)和共变(covariant,也称协变)描述一个向量(或更广义来说,张量)的坐标,在向量空间基底/坐标系转换之下,会如何改变。

反变和共变在张量场的演算中不可或缺,是了解狭义相对论广义相对论必需的数学基础。

转换方式

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向量:反变转换

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  • 标记法说明:向量 向量空间 的元素。向量基底 构成了向量空间的一个基底,其座标系统为。对应这个基底,向量的分量为,即

(注: 这符号中的上标不代表平方,而是代表第二个坐标,在较基础的数学上,常写作 ,但是,在张量分析领域,指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示,以及爱因斯坦求和约定。)

向量空间有另一个基底,其座标系统为。对应这个基底, 有分量 ,即

对于1...n之间任意整数 ,我们知道 的关系:

使用爱因斯坦求和约定可写成:

余向量:共变转换

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假设对偶空间有两个基底 [1]:289-297

假设。 则对于...之间其中一个特定的整数 ,我们知道 的关系:

或使用爱因斯坦求和约定写成:

向量的共变分量和反变分量

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欧几里得空间 里,共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得馀向量;对于所有馀向量 ,通过下述方程式,向量 线性泛函 ,唯一地确定了馀向量

逆过来,通过上述方程式,线性泛函 和每一个馀向量,唯一地确定了向量 。由于这向量与馀向量的相互辨认,我们可以提到向量的共变分量和反变分量;也就是说,它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 的一个基底 ,则必存在一个唯一的对偶基底 ,满足

其中,克罗内克函数

以这两种基底,任意向量 可以写为两种形式

其中, 是向量 对于基底 的反变分量, 是向量 对于基底 的共变分量,

欧几里得空间

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将向量 投影于坐标轴 ,可以求得其反变分量 ;将向量 投影于坐标曲面法线 ,可以求得其共变分量

欧几里得空间3里,使用内积运算,能够从向量求得馀向量。给予一组可能不是标准正交基的基底,其基底向量为 ,就可以计算其对偶基底的基底向量:

其中, 是三个基底向量 所形成的平行六面体的体积。

反过来计算,

其中, 是三个基底向量 所形成的平行六面体的体积 。

虽然 并不相互标准正交,它们相互对偶:

这样,任意向量 的反变坐标为

类似地,共变坐标为

这样, 可以表达为

或者,

综合上述关系式,

向量 的共变坐标为

其中,度规张量

向量 的反变坐标为

 ;

其中,共轭度规张量

共变坐标的标号是下标,反变坐标的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基,或反变基底向量组成的基底是标准正交基,则共变基底与反变基底相互等价。那么,就没有必要分辨共变坐标和反变坐标,所有的标号都可以用下标来标记。

在相对论上的应用

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根据相对性原理,一条物理定律在不同的系统,都应该有相同的“形式”。

狭义相对论讨论的是闵可夫斯基空间,它是一种平直空间。

参考来源

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  1. ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 (英语)