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切叢

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數學上,一個微分流形M切叢(tangent bundle) T(M)是一個由M各點上切空間組成的向量叢,其總空間是各切空間的不交並

總空間T(M)每個元素都是一個二元組(x,v),其中v是在點x的切空間Tx(M)內的一枚向量。 切叢有自然的2n微分流形結構如下:

設: 為自然的投影映射,將(x,v)映射到基點x; 若M是個n維流形,Ux的一個足夠小的鄰域, φ :URn是一個局部坐標卡VUT(M)的前象V)),則存有一個映射ψ : VRn × Rn:ψ(x, v) = (φ(x), dφ(v)). 這個映射定義了T(M)的一個坐標圖。

背景知識見微分流形條目。

拓撲和光滑結構

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切叢帶有一個自然的拓撲(不是不交並拓撲(disjoint union topology))以及微分結構,使得它自己成為一個流形。T(M)的維數是M的兩倍。

每個n維向量空間的切空間是一個n維向量空間。那麼作為一個集合,T(M)和M × Rn同構。但作為一個流形,T(M)並不總是和積流形M × Rn微分同胚。這在切叢是平凡的時候是真的。就象流形局部由歐幾里得空間構造一樣,切叢局部構造在M × Rn上。

M是一個n維流形,則它有一個圖冊Uα, φα)其中UαM中開集而

是一個同胚U上的這些局部坐標對於每個xU給出了TxMRn之間的一個同構。我們然後可以定義一個映射

這是通過下式完成的

我們用這些映射來定義T(M)上的拓撲和光滑結構。T(M)的子集A是開的當且僅當對於每個α,R2n中是開的。這樣這些映射是T(M)的開子集和R2n的同胚,所以可以作為T(M)的光滑結構的坐標圖。坐標圖定義域的交集上的變換函數用相關的坐標變換的雅可比矩陣引出,所以是R2n的開子集間的光滑映射。

切叢是稱為向量叢(自己是纖維叢的特例)的更一般的構造的特例。直接一點的說,n維流形M的切叢可以定義為一個M上的n階向量叢,其變換函數由相應的坐標變換的雅可比矩陣給出。

向量場

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向量場是切叢的截面。

局部向量場

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局部向量場是切叢的局部截面。

向量場的層

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所有局部向量場的集合構成一個(sheaf)。

參見

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外部連結

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參考

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  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
  • Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.