序理論

序理論是研究捕獲數學排序的直覺概念的各種二元關係的數學分支。

背景和動機

次序無所不在——至少在數學和相關領域比如計算機科學是這樣。你典型遇到的第一個次序是小學數學教育中的自然數的次序。這個直覺概念很容易擴展到其他數的集合的排序，比如整數和實數。實際上大於或小於另一個數的概念一般是數系統的基本直覺（儘管你通常還感興趣於兩個數實際的差，它不能由這個次序給出）。排序的另一個非常熟悉的例子是詞典中詞典次序。

上述類型的次序有特殊性質：每個元素都是可以「比較」於另一個元素，就是說，它或者大於、或者小於、或者等於另一個元素。但是，這不總是想要的要求。一個周知的例子是集合的子集排序。如果一個集合 $A$ 包含集合 $B$ 的所有元素，則 $B$ 被稱為小於等於 $A$ 。然而有些集合不能在這種方式來比較，因為其中每個都包含着其他集合中不存在的某些元素。所以，子集包含是偏次序，對立了前面給出的全次序。

序理論在一般性架構下捕獲了上述例子引發的直覺次序。這是通過指定關係 $\leq$ 必須是數學上次序的一些性質來完成的。這種更加抽象的方式更有意義，因為你可以從一般性架構推導出各種定理，而不用關心任何特定次序的細節。這種洞察可以容易的轉換到很多具體應用中。

由次序的各種實踐使用所驅動，已經定義了多個特殊種類的有序集合，其中某些已經發展出自己的數學領域。此外，序理論不限制於各種種類的排序關係，還考慮在它們之間的適當的函數。函數的序理論的性質的一個簡單例子來自在數學分析中常見的單調函數。

基礎定義

此部分我們建立一些概念作為導引：集合論、算術和二元關係。

偏序集合

序是特別的二元關係。假定 $P$ 是一集合，且 $\leq$ 是在 $P$ 的關係，則 $\leq$ 是個偏序當他是自反的，反對稱的，且遞移的，則，對於所有 $a,b$ 和 $c$ 於 $P$ ，皆能滿足：

a\leq a

（自反的）

如果

a\leq b

並且

b\leq a

則

a=b

（反對稱性）

如果

a\leq b

並且

b\leq c

則

a\leq c

（遞移性）

一個偏序性質的集合稱為偏序集合、poset或是有序集合（當其所強調的意指明確）。藉由查看這些性質，我們能知道在自然數、整數、有理數、以致於實數皆有明確的序關係。當然，它們還有額外的性質成為全序，即在 $P$ 中對於每一個a和b皆能滿足：

a\leq b

或

b\leq a

（全序性）

這些序又稱為線性序或鏈。當許多典型序為線性，集合內的有序子集合會發生不滿足此性質的例子。另一個例子為給定一個整除性關係" $|$ "。對於兩個數 $n$ 和 $m$ ，當 $m$ 除以 $n$ 未留餘數時，我們書寫為 $n|m$ ，我們可輕易的明白這是一個偏序關係。非常多進階的性質主要在於非線性序中。

參考文獻

B. A. Davey and H. A. Priestley, 2002. Introduction to Lattices and Order, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4

A good contemporary introduction to the subject. Suitable for undergraduates.

G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, and D. S. Scott, 2003, "Continuous Lattices and Domains," in Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 93, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1

The comprehensive new version of the famous "Compendium" of continuous lattices. Assumes some advanced mathematical background.

S. N. Burris and H. P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Springer Verlag.

A free online introduction to universal algebra, with much material on lattices.

外部連結

Orders at ProvenMath（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.

參見