核 (代數)

在歸入線性代數的各種數學分支中，同態的核測量同態不及於單射的程度。

核的定義在不同上下文中採用不同的形式。但是在所有形式中，同態的核是平凡的（在與那個上下文有關的意義上），當且僅當這個同態是單射。同態基本定理（或第一同構定理）是應用於核所定義的商代數的採用了各種形式的一個定理。

例子縱覽

線性算子

設 V 和 W 是向量空間並設 T 是從 V 到 W 的線性變換。如果0_W 是 W 的零向量，則 T 的核是單元素集合 {0_W} 的前像；就是說 V 的由被 T 映射到元素 0_W 的那些 V 的元素構成的子集。核通常指示為「ker T」，或者：

$\mathop {\mathrm {ker} } \,T:=\{\mathbf {v} \in V:T\mathbf {v} =\mathbf {0} _{W}\}{\mbox{.}}\!$

因為線性變換保持零向量，V 的零向量0_V 必須屬於核。變換 T 是單射的，當且僅當它的核只是單元素集合 {0_V}。

ker T 顯然總是 V 的子空間。因此，它使談論商空間 V/(ker T) 有意義。對向量空間的第一同構定理聲稱這個商空間自然同構於 T 的像（它是 W 的子空間）。作為結論，V 的維度等於核的維度加上像的維度。

如果 V 和 W 是有限維的向量空間，並且基已經選擇好了，則 T 可以用矩陣 M 描述，而這個核可以通過解齊次線性方程組 Mv = 0 來計算。在這種表示中，核對應於 M 的零空間。零空間的維度叫做 M 的零化度（nullity）由 M 的縱列數減去 M 的秩得到，這是秩-零化度定理的結論。

解齊次微分方程經常涉及計算特定微分算子的核。例如，為了找到從實數軸到自身的所有二次可微函數 f 使得

x'f''(x) + 3f(x) = f(x),

設 V 是二次可微函數的空間，設 W 是所有函數的空間，定義從 V 到 W 的線性算子 T 為

(T''f)(x) = x'f''(x) + 3f(x) - f(x)

對於在 V 中的 f 而 x 是任意實數。這個微分方程的所有解都在 ker T 中。

你可以用類似方式定義在環之上的模之間的同態的核。這包括了在阿貝爾群之間的同態的核作為特殊情況。這個例子捕捉了在一般阿貝爾範疇內的核的本質；參見核 (範疇論)。

群同態

設 G 和 H 是群並設 f 是從 G 到 H 的群同態。如果 e_H 是 H 的單位元，則 f 的核是單元素集合 {e_H} 的前像；就是說，G 的由被 f 映射到元素 e_H 的所有 G 的元素構成的子集。核通常指示為「ker f」。或者：

$\mathop {\mathrm {ker} } f:=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}{\mbox{.}}\!$

因為群同態保持單位元素，G 的單位元素 e_G 必須屬於這個核。同態 f 是單射，當且僅當它的核只是單元素集合{e_G}。

ker f 明顯不只是 G 的子群，實際上還是正規子群。因此它使談論商群 G/(ker f) 有意義。群的第一同構定理聲稱這個商群自然同構於 f 的像（它是 H 的子群）。

在阿貝爾群的特殊情況下，這以同前面章節的完全同樣的方式工作。