二階導數的對稱性,也稱為混合導數的相等,或楊定理(英語:Young's theorem),指取一個n元函數
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1aecfa2ea390415dac1aa9b7f6b534c00e8d60)
的偏導數可以交換。如果關於
的偏導數用一個下標
表示,則對稱性斷言二階偏導數
滿足等式
![{\displaystyle f_{ij}=f_{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212ed9b9cc86bfba34ae8af510516950917e1fd0)
從而它們組成一個n×n 對稱矩陣。
f的二階偏導數稱為f的黑塞矩陣。主對角線之外的元素是混合導數;即關於不同兩個變量相繼之導數。
在最正常的情形黑塞矩陣實際上是對稱矩陣;但從數學分析的觀點來看這不是一個安全的論述,在特定一個點除了二階導數的存在之外還需進一步的假設。克萊羅定理給出了關於f的一個充分條件使其成立。
用符號表示,對稱性說,例如
。
這個等式也可寫成
。
或者,此對稱性可利用微分算子Di寫成一個代數論述,Di是關於xi取偏導數:
- Di . Dj = Dj . Di.
由這個關係得知由Di生成的常係數微分算子環是交換的。但須自然地設定這些算子的一個定義域。容易驗證對單項式對稱性成立,從而我們可取xi的多項式為定義域。事實上光滑函數也行。
在數學分析中,克萊羅定理(Clairaut's theorem)或施瓦茲定理(Schwarz's theorem)[1],以亞歷克西·克萊羅與赫爾曼·施瓦茲命名,斷言如果
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6991fd928a18a993d719e93137af6240a9b6545a)
在
中任何一點
有連續二階偏導數,則對
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62672772c7724186fa661c67404cfc8eee25b832)
換句話說,這個函數在那一點的偏導數交換。確立這個定理的一個簡單方法(當n = 2, i = 1,且j = 2,很容易推到一般)是運用格林定理求f的梯度。
這個定理的一個副產品是克萊羅常數(Clairaut's constant,亦稱卡羅拉公式或克萊羅參數),涉及球面大圓上一點的維度與方位角。一個特定大圓等於它在赤道處的方位角,或弧道路,
:
![{\displaystyle \sin({\widehat {\mathrm {A} }})={\Big |}\cos(\phi _{q})\sin({\widehat {\alpha }}_{q}){\Big |}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97860f949e2cce96cf6595fd84c0072c7952d826)
也可利用分佈理論迴避有這種對稱性的解析問題。首先任何函數的導數(假設可積)可以定義為一個分佈。第二分部積分將對稱性問題丟給測試函數,這是光滑的當然滿足對稱性。從而,在分佈的意義下,對稱性總滿足。(另一個方法,若定義了函數的傅立葉變換,注意到在變換中偏導數成為更顯然交換的乘法算子)。
當函數不滿足克萊洛定理的前提的時候,例如其導數不連續,則不存在對稱性。
這個函數
在它的原點沒有對稱的二階導數
展示非對稱的一個例子如下:
![{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ for }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e8f74b81d96588bda2849855cf7836e2718c3e)
儘管這個函數處處連續,但它的代數導函數在原點沒有定義。沿着x軸的其他地方y的導數為
,所以
。
反之亦然,沿着y軸的其他地方x的導數為
,所以
。那就是說,在(0,0)處
,儘管f的混合導數存在,且在
之外處處連續。注意到它與克萊羅定理並不矛盾,因為導數在(0,0)不連續。一般地,極限運算的交換未必交換,兩個變量情形下,在(0, 0)附近考慮
![{\displaystyle f(h,k)-f(h,0)-f(0,k)+f(0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc3dda3252f18ed02a6f2c2ea2154d5f4515e7e)
的兩個極限過程,先令h → 0以及先令k → 0。這兩個過程未必交換(參見極限運算的交換):看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分佈是對稱的,這類例子屬於實分析中的精細理論,逐點值在其中起作用。當看作一個分佈的時候,二階導數值可以在任意點集中的改變,只要Lebesgue測度為
。由於在這個例子中,黑塞矩陣在
外所有點對稱,Hessian矩陣看作施瓦茨分佈是對稱的事實,不存在矛盾。
更高級的一個討論是這樣的:考慮一階微分算子Di為歐幾里得空間中的無窮小算子。即Di在某種意義下生成平行於xi-軸平移的單參數群。顯然這些群互相交換,從而我們希望無窮小生成元也交換;李括號
- [Di, Dj] = 0
便是其反映的方式。或者說,一個坐標關於另一個坐標的李導數是零。
- ^ James, R.C.(1966)Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth.