二階導數的對稱性

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數學中,二階導數的對稱性(也稱為混合導數的相等)指取一個n元函數

偏導數可以交換。如果關於的偏導數用一個下標表示,則對稱性斷言二階偏導數滿足等式

從而它們組成一個n×n 對稱矩陣。有時這也稱為楊定理Young's theorem)。

黑塞矩陣是典型對稱的[編輯]

f的二階偏導數稱為f黑塞矩陣主對角線之外的元素是混合導數;即關於不同兩個變量相繼之導數。

在最正常的情形黑塞矩陣實際上是對稱矩陣;但從數學分析的觀點來看這不是一個安全的論述,在特定一個點除了二階導數的存在之外還需進一步的假設。克萊羅定理給出了關於f的一個充分條件使其成立。

對稱性的正式表述[編輯]

用符號表示,對稱性說,例如

這個等式也可寫成

或者,此對稱性可利用微分算子Di寫成一個代數論述,Di是關於xi取偏導數:

Di . Dj = Dj . Di.

由這個關係得知由Di生成的常係數微分算子環是交換的。但須自然地設定這些算子的一個定義域。容易驗證對單項式對稱性成立,從而我們可取xi多項式為定義域。事實上光滑函數也行。

克萊羅定理[編輯]

數學分析中,克萊羅定理Clairaut's theorem)或施瓦茲定理Schwarz's theorem[1],以亞歷克西·克萊羅赫爾曼·施瓦茲命名,斷言如果

中任何一點 連續二階偏導數,則對

換句話是,這個函數在那一點的偏導數交換。確立這個定理的一個簡單方法(當n = 2, i = 1,且j = 2,很容易推到一般)是運用格林定理f梯度

克萊羅常數[編輯]

這個定理的一個副產品是克萊羅常數Clairaut's constant,亦稱卡羅拉公式或克萊羅參數),涉及球面大圓上一點的維度方位角。一個特定大圓等於它在赤道處的方位角,或弧道路

分佈理論描述[編輯]

也可利用分佈理論迴避有這種對稱性的解析問題。首先任何函數的導數(假設可積)可以定義為一個分佈。第二分部積分將對稱性問題丟給測試函數,這是光滑的當然滿足對稱性。從而,在分佈的意義下,對稱性總滿足。(另一個方法,若定義了函數的傅立葉變換,注意到在變換中偏導數成為更顯然交換的乘法算子)。

對稱性的要求[編輯]

當函數不滿足克萊洛定理的前提的時候,例如其導數不連續,則不存在對稱性。

這個函數在它的原點沒有對稱的二階導數

展示非對稱的一個例子如下:

儘管這個函數處處連續,但它的代數導函數在原點沒有定義。沿着x軸的其他地方y的導數為,所以

反之亦然,沿着y軸的其他地方x的導數為,所以。那就是說,在(0,0)處,儘管f的混合導數存在,且在之外處處連續。注意到它與克萊羅定理並不矛盾,因為導數在(0,0)不連續。一般地,極限運算的交換未必交換,兩個變量情形下,在(0, 0)附近考慮

的兩個極限過程,先令h → 0以及先令k → 0。這兩個過程未必交換(參見極限運算的交換):看最先作用的那個一階項。可以構造出二階導數的對稱性不成立的病態例子。若導數作為施瓦茲分佈是對稱的,這類例子屬於實分析中的精細理論,逐點值在其中起作用。當看作一個分佈的時候,二階導數值可以在任意點集中的改變,只要Lebesgue測度為。由於在這個例子中,黑塞矩陣在外所有點對稱,Hessian矩陣看作施瓦茨分佈是對稱的事實,不存在矛盾。

李理論[編輯]

更高級的一個討論是這樣的:考慮一階微分算子Di歐幾里得空間中的無窮小算子。即Di在某種意義下生成平行於xi-軸平移單參數群。顯然這些群互相交換,從而我們希望無窮小生成元也交換;李括號

[Di, Dj] = 0

便是其反映的方式。或者說,一個坐標關於另一個坐標的李導數是零。

參考文獻[編輯]

  1. ^ James, R.C.(1966)Advanced Calculus. Belmont, CA, Wadsworth.