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仿射聯絡

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一個定義在球面上的仿射聯絡,會把點上的整個仿射切平面(詳見仿射空間切空間)轉換到另一點上的仿射切平面,此轉換是沿着連接兩點的曲線而連續變化的。

仿射聯絡微分幾何中定義在流形上的幾何概念,連接了鄰近幾點上的切空間,使得在流形上的切向量場可以求導。仿射聯絡的概念起源於19世紀的幾何學和張量微積分,但那時並沒有被完備的定義出來。直到1920年,埃利·嘉當(用於嘉當聯絡(Cartan connection)理論)及赫爾曼·魏爾(做為廣義相對論的基礎理論)。這專門術語是源自嘉當,其根據從歐幾里德空間Rn中切空間的推廣。換句話說,仿射聯絡的概念是為了推廣歐幾里德空間,使得流形上每點都有一個光滑的(可無限求導)仿射空間。

任何維數為正數的流形都會有無窮個仿射聯絡。仿射聯絡能用來決定在向量場上求導,並滿足線性萊布尼茲法則的方法,這表明了仿射聯絡有幾個可行的方法,像是協變導數或在向量叢上的聯絡。仿射聯絡也能用來決定在切向量沿着一條曲線平行移動的方式,或者用來決定標架叢的平行移動。仿射聯絡也可以用來決定流形上的測地線,推廣了歐幾里德空間中直線的概念。

在標架叢中的平行移動展現了仿射聯絡的一種形式,其他像是仿射群上的嘉當聯絡,或者在標架叢上的主叢也是如此。除此之外,若在流形上賦予黎曼度量,則可以在其上定義列維-奇維塔聯絡

仿射聯絡有幾個重要的不變量,分別是撓率曲率。撓率描述李括號藉仿射聯絡變換前後的差異。曲率則是用來衡量流形上的測地線與直線(在歐幾里德空間的意義下)的差異。

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