勒維奇維塔聯絡

勒維奇維塔聯絡（Levi-Civita connection），在黎曼幾何中，是切線束上的無扭率聯絡，它保持黎曼度量(或偽黎曼度量)不變。因意大利數學家圖利奧·勒維奇維塔而得名。

黎曼幾何基本定理表明存在唯一聯絡滿足這些屬性。

在黎曼流形和偽黎曼流形的理論中，共變導數一詞經常用於勒維奇維塔聯絡。聯絡的坐標空間的表達式稱為克里斯多福符號。

形式化定義[編輯]

設 $(M,g)$ 為一黎曼流形（或偽黎曼流形），則仿射聯絡 $\nabla$ 在滿足以下條件時是勒維奇維塔聯絡。

無扭率：也就是，對任何向量場 $X,Y$ 我們有 $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ ，其中 $[X,Y]$ 是向量場 $X$ 和 $Y$ 的李括號。

與度量相容：也就是,對任何向量場 $X,Y,Z$ 我們有 $Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$ ，其中 $Xg(Y,Z)$ 表示函數 $g(Y,Z)$ 沿向量場 $X$ 的導數。

勒維奇維塔聯絡也定義了一個沿曲線的導數，通常用 $D$ 表示。

給定一個在 $(M,g)$ 上的光滑曲線 $\gamma$ 和 $\gamma$ 上的一個向量場 $V$ ，其導數定義如下

{\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.