時間序列

時間序列（英語：time series）是一組按照時間發生先後順序進行排列的數據點序列。通常一組時間序列的時間間隔為一恆定值（如1秒，5分鐘，12小時，7天，1年），因此時間序列可以作為離散時間數據進行分析處理。時間序列廣泛應用於數理統計、信號處理、模式識別、計量經濟學、數學金融、天氣預報、地震預測、腦電圖、控制工程、航空學、通信工程以及絕大多數涉及到時間數據測量的應用科學與工程學。

內涵

時間序列是用時間排序的一組隨機變量，國內生產毛額（GDP）、消費者物價指數（CPI）、加權股價指數、利率、匯率等等都是時間序列。

時間序列的時間間隔可以是分秒（如高頻金融數據），可以是日、週、月、季度、年、甚至更大的時間單位。

時間序列是計量經濟學所研究的三大數據形態（另兩大為橫截面數據和縱橫資料）之一，在總體經濟學、國際經濟學、金融學、金融工程學等學科中有廣泛應用。

時間序列變量的特徵

• 非平穩性（nonstationarity，也譯作不平穩性，非穩定性）：即時間序列的方差無法呈現出一個長期趨勢並最終趨於一個常數或是一個線性函數
• 波動幅度隨時間變化（Time－varying Volatility）：即一個時間序列變量的方差隨時間的變化而變化

這兩個特徵使得有效分析時間序列變量十分困難。

平穩型時間數列（Stationary Time Series）是指一個時間數列其統計特性將不隨時間變化而改變。

傳統的計量經濟學的假設

1. 假設時間序列變量是從某個隨機過程中隨機抽取並按時間排列而形成的，因而一定存在一個（狹義）穩定趨勢（stationarity），即：平均值是固定的。
2. 假定時間序列變量的波動幅度不隨時間改變，即：方差是固定的。但這明顯不符合實際，人們早就發現股票收益的波動幅度是隨時間而變化的，並非常數。

這兩個假設使得傳統的計量經濟學方法對實際生活中的時間序列變量無法有效分析。克萊夫·格蘭傑和羅伯特·恩格爾的貢獻解決了這個問題。

非平穩性的解決

克萊夫·格蘭傑解決了這個問題。

雖然單獨看不同的時間序列變量可能具有非平穩性，但按一定結構組合後的新的時間序列變量卻可能是平穩的，即這個新的時間序列變量長期來看，會趨向於一個常數或是一個線性函數。

例如，時間序列變量$X(t)$非平穩，但其d階差分卻可能是平穩的；時間序列變量$X(t)$和$Y(t)$非平穩，但線性組合$X(t)-bY(t)$卻可能是平穩的。

分析非平穩的時間序列變量，可從尋找結構關係入手（例如尋找上述常數b），把非平穩的時間序列平穩化。

共整合性

克萊夫·格蘭傑在1981年一篇論文中引入了「共整合性」這個概念（英語：cointegration，也譯作「協整」）。

如果兩個時間序列$X(t)$和$Y(t)$各自有整合階$I(x)$和$I(y)$，而將兩序列做某種線性組合後的序列$Z(t)$具有更低的「整合階」：$I(z)<I(x),I(z)<I(y)$，便稱這兩個時間序列具有「共整合性」。用上一節的例子說明，若常數$b$存在，那麼原時間序列$X(t)$和$Y(t)$就具共整合性。

格蘭傑和懷思（Weiss）合著的1983年的一篇論文中提出了「格蘭傑表述定理」（英語：Granger representation theorem），證明了以一組特定的動態方程可以重新表述具有「共整合性」的時間序列變量（英語：cointegrated variables）之間的動態關係，而這組動態方程更具有經濟學含義，從而使得時間序列分析更有效。

波動幅度問題的解決

羅伯特·恩格爾在1982年發表在《計量經濟學》雜誌（Econometrica）的一篇論文中提出了ARCH模型，解決了時間序列的方差隨時間改變之問題，其中他研究的是英國通貨膨脹率的波動性。

ARCH模型

主條目：ARCH模型

ARCH模型（英語：Autoregressive conditional heteroskedasticity model，自回歸條件異方差模型）能準確地模擬時間序列變量的波動性的變化，它在金融工程學的實證研究中也應用廣泛，使人們能更加準確地把握風險（波動性），尤其是應用在風險價值（Value at Risk）理論中，在華爾街是被廣泛應用的工具。

時間序列分析方法的優點

• 既考慮了觀測數據在時間序列上的依存性，又考慮了隨機波動的干擾。

相關條目

• 計量經濟學
• ARCH模型
• 風險價值
• ARIMA模型

外部連結

• A Professional Environment for Time Series and Signal Analysis