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單位群

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在環中,所有可逆元素叫環的單位,所有單位對乘法可構成一個乘法,叫環的單位群。對環(域)來說,單位群所有元素,和環(域)的所有元素有多少相同,有多少不同,可由環的素理想分式理想理想類群度量

整數環Z的單位只有1,-1,單位群同構於循環群C2。模n 的剩餘類環Zn單位群記為U(Zn)。僅有U(Z3),U(Z4),U(Z6),U(Z8),U(Z12),U(Z24)非單位元的階均為2;非單位元的階均為其他素數p(p > 2)的單位群不存在。

單位

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算術基本定理說明Z環的乘法結構為:每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和±1乘。這對OK的理想的唯一分解對一部分理想正確,不能全正確是因為±1,因為整數1和-1是Z環的可逆元素(即單位,兩者組成一個乘法群叫單位群,記為Z×,是個2階循環群)。更普遍的是,在OK的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群,記為O×,群素元稱為OK的單位,這個群比2階循環群大。由狄利克雷單位定理可得:單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦形式:

OK Z⊕r⊕(有限循環群)。

有限循環群即為K的單位群O×。[1] OK單元群的大小,OK結構,類數公式可以求出。

例子

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由在線GNU項目sagemath.org可容易看出2次域單位判別式類數因子分解等各種情況。

Q7:=QuadraticField(-11);Q7;
O7:=MaximalOrder(Q7);O7;
Discriminant(Q7) ;
ClassGroup(Q7);
a:=O7!5;a;
aa:=O7!500;aa;
Factorization(a);
Factorization(aa);
Q17:=QuadraticField(17);Q17;
FundamentalUnit(Q17);
Discriminant(Q17) ;
ClassGroup(Q17);


Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field
Maximal Order of Q7
-11
Abelian Group of order 1
Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7
5
500
[ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]
<-1, 0>
[ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]
<-1, 0>
Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field
-Q17.1 + 4
17
Abelian Group of order 1
Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17

參考連結

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