施瓦茨-米爾諾(Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor[1])引理,是數學上的一個結果,給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果,十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。[2]有了這條引理,就可以由度量空間的幾何性質,來研究群的性質。
設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連,就稱X為測地的。
如果X中每一個閉球都是緊緻集,就稱X為常態的。考慮X中從某點
量度距離的函數
![{\displaystyle d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98211a7eecd6928d40d14ef8429c19a08ad1f772)
那麼閉球
是緊緻區間[0,a]在
下的原像。因此,閉球都是緊緻集這個條件,便等價於所有形如
的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。
一個群G在X上的群作用稱為真不連續的,如果對每個緊緻集
,G中只有有限個元素g,使得
。這個群作用稱為餘緊的,如果存在一個緊緻集
,使得
。
設X為一個常態測地度量空間。如果一個群G以等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上,那麼G是有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後,和X擬等距同構;對於X的任何一點
,映射
都是從G到X的擬等距映射。
G中任何有限生成集合所對應的字度量,都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S,證明在G上取對應S的字度量後,和X是擬等距同構即可。
選定
。因為群作用是餘緊的,存在
,使得
在G的作用下覆蓋X。
取G的一個子集
![{\displaystyle S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03defd646409d4b2a332809282e873e074e9ca71)
G的元素g若在子集S內,則有
![{\displaystyle g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb7b1b8826a1c771a23349f5511464e2eeb2339)
X是常態度量空間,故
是緊緻集,又因群作用是真不連續的,所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。
對G中任何非平凡元素g,有一條測地線段連接兩點
和
。設k為整數,符合
![{\displaystyle k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270713f630d8e4c5dfe45c503252c07c583e59f3)
在這條測地線段上取點
,j=1,..., k+1,滿足
。
對每一點
,都存在G中的元素
,使得
。可指定
,
。如果
,則有
,因為
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d_{X}(x_{0},g_{j-1}^{-1}g_{j}\cdot x_{0})\\=&d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},g_{j}\cdot x_{0})\\\leq &d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},x_{j-1})+d_{X}(x_{j-1},x_{j})+d_{X}(x_{j},g_{j}\cdot x_{0})\\<&r+1+r=2r+1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f25b669dd28f4afeb2a0d7c9a3499cb013bfebc)
由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。因此S是G的生成集合,而且對所有g都有
![{\displaystyle d_{S}(e,g)\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb4c2673fbe89a3ab08c94194d4269ee7854cda)
取
,用三角不等式得出
![{\displaystyle d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(e,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8e6fdbacfbaef965e5620bc47ddf4a784594c)
對任何
,有
![{\displaystyle d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})=d_{X}(x_{0},g^{-1}h\cdot x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a01e8d8ff22b9953504c06141e5994c1048bd6b)
![{\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(e,g^{-1}h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5845dc023d3d2a43ad237e9cd8f3cce4b596e4f)
故此從以上兩條不等式可以得出
![{\displaystyle d_{S}(g,h)-1\leq d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(g,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bcff44c703dd1169737fb738691958a2f49200)
而且X中每一點x都距離某個
不超過r,所以
是擬等距映射,G和X是擬等距同構。