施瓦茨-米爾諾引理

施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor^[1]）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。^[2]有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。

定義

設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。

如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點 $x'$ 量度距離的函數 $d_{x'}:X\to [0,\infty )$

d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')

那麼閉球 ${\overline {B(x',a)}}$ 是緊緻區間[0,a]在 $d_{x'}$ 下的原像。因此，閉球都是緊緻集這個條件，便等價於所有形如 $d_{x'}$ 的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。

一個群G在X上的群作用稱為真不連續的，如果對每個緊緻集 $K\subset X$ ，G中只有有限個元素g，使得 $g\cdot K\cap K\neq \varnothing$ 。這個群作用稱為餘緊的，如果存在一個緊緻集 $K'\subset X$ ，使得 $G\cdot K'=X$ 。

引理敘述

設X為一個常態測地度量空間。如果一個群G以等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上，那麼G是有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後，和X擬等距同構；對於X的任何一點 $x_{0}$ ，映射 $g\mapsto g\cdot x_{0}$ 都是從G到X的擬等距映射。

證明

G中任何有限生成集合所對應的字度量，都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S，證明在G上取對應S的字度量後，和X是擬等距同構即可。

選定 $x_{0}\in X$ 。因為群作用是餘緊的，存在 $r>0$ ，使得 $B(x_{0},r)$ 在G的作用下覆蓋X。

取G的一個子集

S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}

G的元素g若在子集S內，則有

g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing

X是常態度量空間，故 ${\overline {B(x_{0},r+1/2)}}$ 是緊緻集，又因群作用是真不連續的，所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。

對G中任何非平凡元素g，有一條測地線段連接兩點 $x_{0}$ 和 $g\cdot x_{0}$ 。設k為整數，符合

k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1

在這條測地線段上取點 $x_{j}$ ，j=1,..., k+1，滿足 $d_{X}(x_{j-1},x_{j})\leq 1$ 。

對每一點 $x_{j}$ ，都存在G中的元素 $g_{j}$ ，使得 $x_{j}\in g_{j}\cdot B(x_{0},r)$ 。可指定 $g_{0}=e$ , $g_{k+1}=g$ 。如果 $g_{j-1}\neq g_{j}$ ，則有 $g_{j-1}^{-1}g_{j}\in S$ ，因為