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矩陣的平方根

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數學中,矩陣的平方根是算術中的平方根概念的推廣。對一個矩陣A,如果矩陣B滿足

那麼矩陣B就是A的一個平方根。

計算

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與算術中的平方根概念不同,矩陣的平方根不一定只有兩個。然而依照矩陣平方根的概念以及矩陣乘法的定義,只有方塊矩陣才有平方根。[1]

對角化算法

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如果矩陣的係數域是代數閉域,比如說複數的時候,對於一個對角矩陣,其平方根是很容易求得的。只需要將對角線上的每一個元素都換成它的平方根就可以了。這種思路可以推廣到一般的可對角化矩陣。一個所謂的可對角化矩陣A是指可以通過相似變換成為對角矩陣D的矩陣:

其中的矩陣P可逆的矩陣。在這種情況之下,假設矩陣D的形式是:

那麼矩陣A的平方根就是:

其中的是:

[2]

丹曼-畢福斯迭代算法

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另一種計算矩陣平方根的方法是丹曼-畢福斯迭代算法。在計算一個矩陣A的平方根時,先設矩陣單位矩陣)。然後用以下的迭代公式計算矩陣序列

這樣的兩個序列將會收斂到兩個矩陣上。其中將會是矩陣的平方根,而將是的逆矩陣。

參見

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參考來源

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  1. ^ (中文)張賢達. 矩阵分析与应用. 清華大學出版社. 2008. ISBN 7302092710. ,第152頁
  2. ^ (英文)Alvin C. Rencher. Methods of Multivariate Analysis, 2nd Edition. Wiley-Interscience. 2002. ISBN 978-0-471-41889-4. ,第36頁