库默尔定理

在数学里，库默尔定理能计算给出的二项式的系数的p-adic赋值，即${\binom {n}{m}}$含p的幂次。 本定理以恩斯特·库默尔命名。

定理

库默尔定理指出，给定整数 $n\geq m\geq 0$和一个质数 $p$, p-adic赋值 $\nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)$ 等于以 $p$ 为基底时$m$加 $n-m$的进位次数。

例子

要计算 $\nu _{2}\left({\tbinom {10}{3}}\right)$，写出 $m=3$ 和 $n-m=7$ 的二进制表示 $3=11_{2}$ 和 $7=111_{2}$。进行二进制加法 $11_{2}+111_{2}=1010_{2}$ 需要进位三次。 故 ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ 中 2 的次数是 3。

求具有下述性质的所有整数$k$：存在无穷多个正整数$n$，使得$n+k$不整除 ${\binom {2n}{n}}$。

解 ∵ ${\binom {2n}{n-1}}={\frac {2n(2n-1)\cdots (n+2)}{(n-1)!}}={\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$,

∴ ${\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n-1}}$ 是整数，

∴ $n+1\left|{\binom {2n}{n}}\right.$ 对任意正整数$n$成立，从而 1 不满足要求.

当$k\leq 0$时，取$n=p-k$（$p$为奇素数，$p>-2k$），满足要求.

当$k\geq 2$时，取$k$的一个素因子$p$，选取正整数$m$使得 $p^{m}>k$，令 $n=p^{m}-k$，我们证明： $n+k$ 不整除 ${\binom {2n}{n}}$.

$2n=n+n$ 最多进位$m-1$次. 由库默尔定理，$\nu _{p}\left({\binom {2n}{n}}\right)\leq m-1$，

∵ $n+k=p^{m}$，∴ $n+k$不整除${\binom {2n}{n}}$.

从而存在无穷多个$n$满足要求.

综上，$k$是任意不为1的整数.

证明

将组合数${\tbinom {m+n}{m}}$写成${\tbinom {m+n}{m}}={\tfrac {(m+n)!}{m!n!}}$ 根据勒让德定理，它所含$p$的幂次数为 $$\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\sum _{i=1}^{\infty }\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]=\sum _{i=1}^{\infty }\left\{\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]\right\}$$ $\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]$等于$n$在$p$进制表示下，截去末$i$位得到的数，因此 $$\left[{\frac {m+n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {n}{p^{i}}}\right]-\left[{\frac {m}{p^{i}}}\right]={\begin{cases}1&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 有 进 位}}\\0&{\text{若 第 }}i+1{\text{ 位 不 进 位}}\end{cases}}$$ 最后对$i$求和，就是$m+n$在$p$进制下的进位次数。

多项系数的一般化

库默尔定理，可以推广到 多项系数 ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}:={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ ：

将 $n$ 以 $p$为基底写做 $n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}$和定义 $S_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}$ 是 $p$ 基底的数位和。 则

$\nu _{p}\left({\dbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right)$.

参见

• 卢卡斯定理

参考文献

• Kummer, Ernst. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.