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库默尔定理

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数学里,库默尔定理能计算给出的二项式的系数p-adic赋值英语P-adic valuation,即含p的幂次。 本定理以恩斯特·库默尔命名。

定理

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库默尔定理指出,给定整数 和一个质数 , p-adic赋值  等于以  基底进位次数。

例子

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要计算 ,写出 的二进制表示 。进行二进制加法 需要进位三次。 故 中 2 的次数是 3。


求具有下述性质的所有整数:存在无穷多个正整数,使得不整除 [1]

解 ∵ ,

是整数,

对任意正整数成立,从而 1 不满足要求.

时,取为奇素数,),满足要求.

时,取的一个素因子,选取正整数使得 ,令 ,我们证明: 不整除 .

最多进位次. 由库默尔定理,

,∴ 不整除.

从而存在无穷多个满足要求.

综上,是任意不为1的整数.

证明

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将组合数写成 根据勒让德定理,它所含的幂次数为 等于进制表示下,截去末位得到的数,因此 最后对求和,就是进制下的进位次数。

多项系数的一般化

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库默尔定理,可以推广到 多项系数  :

将 为基底写做 和定义  基底的数位和。 则

.


参见

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参考文献

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  • Kummer, Ernst. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93. 

[2]

  1. ^ 刘培杰; 张佳. 库默尔定理——从一道IMO预选题谈起. d.wanfangdata.com.cn. [2022-03-08]. doi:10.3969/j.issn.1005-6416.2017.09.004. (原始内容存档于2022-06-12). 
  2. ^ 存档副本. [2020-07-31]. (原始内容存档于2021-04-18).