在数论中,欧拉定理(也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明,若为正整数,且互素(即),则
即与1在模n下同余;φ(n)为欧拉函数。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。
首先看一个基本的例子。令,,此两数为互素正整数。小于等于5的正整数中与5互素的数有4个(1、2、3和4),所以(详情见欧拉函数)。计算:,与定理结果相符。
使用本定理可大程度地简化幂的模运算。比如计算的个位数时,可将此命题视为求被10除的余数:因7和10互素,且,故由欧拉定理可知。所以。
一般在简化幂的模运算的时候,当和互素时,可对的指数取模:
,其中。
一般的证明中会用到“所有与互素的同余类构成一个群”的性质,也就是说,设是比 小的正整数中所有与 互素的数对应的同余类组成的集合(这个集合也称为模n 的简化剩余系)。这些同余类构成一个群,称为整数模n乘法群。因为此群阶为,所以。
当是素数的时候,,所以欧拉定理变为:
- 或
这就是费马小定理。