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正交多项式

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函数若在区间(a,b)可积,且,则可作为权函数。

对于一个多项式的序列和权函数,定义内积

,这些多项式则称为正交多项式(英语:Orthogonal Polynomials)。

除了正交之外,更有的话,则称为规范正交多项式

例子

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若权函数为1,区间为(-1,1),,对应的正交多项式有:

它们称为勒让德多项式

对于任意向量空间的基,Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基,正交化的结果便是勒让德多项式。

常见的正交多项式

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性质

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  • 递归方程

其中

  • 实根:所有正交多项式系中的正交多项式都有个实,这些根是相异且在正交区间之内。
  • 奇偶性:若为偶函数,且正交区间为,则有

外部链接

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