运动常数

在经典力学里，对于一个动力系统，随着时间的演进，所有保持不变的物理量都称为运动常数（constant of motion），又称为守恒量。^[1]它的作用有点类似运动的约束。可是，运动常数是数学的约束，自然地从运动方程中显现出来，而不是物理的约束；物理的约束会有相应的约束力来维持这约束。常见的运动常数例子有能量、动量、角动量、拉普拉斯-龙格-楞次矢量。

应用

运动常数的辨认对于研究物理问题是非常重要的。通过解析运动常数，可以明了许多物体运动的性质，而不需将运动方程的解答完全计算出来。假若一个物体的角动量矢量是恒定的，则此物体的轨迹（Trajectory）必包含于一个平面。在有些幸运的状况下，甚至连运动轨迹都可以简单地导引出来；因为它们是运动常数的等值曲面之相交线。举例而言，从潘索椭圆球（Poinsot's ellipsoid）可以观察出，一个净力矩等于零的刚体的旋转，其角速度轨迹是一个圆球（角动量守恒）与一个椭圆球（能量守恒）的相交。用别种方法，这答案或许很不容易导引出。因此，运动常数的辨认是很重要的研究目标。

辨认运动常数的方法

辨认运动常数的方法有好几种：

最简单，但最无系统的方法是靠直觉。假设一个物理量是运动常数（或许是从分析实验数据而得到的结论）。经过数学证明，可以论定，在物体的运动过程中，此量的值是保守的。

哈密顿-亚可比方程给予一个常用与直接的方法来认明运动常数，特别是当采用正交坐标的哈密顿量，呈现出可辨认的函数形式。

另外一种方法应用下述事实：每一个守恒量的量值都相应于一个拉格朗日量的对称性。诺特定理给予一个有系统的方法，从对称性导引出守恒量。例如，拉格朗日量对于时间演化（英语：time evolution）的不变性，造成了能量守恒；拉格朗日量对于空间平移的不变性（平移对称性），造成了动量守恒；拉格朗日量对于空间转动的不变性，造成了角动量守恒。反过来说也是正确的；每一个拉格朗日量的对称性相应于一个运动常数

假若一个物理量 $A$ ，既不是显性地含时间，又与哈密顿量的帕松括号等于零，则此物理量是保守的：

{\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+[A,\ H]

。

另外一个很有用的理论，帕松定理阐明：假若 $A$ 与 $B$ 都是运动常数，则它们的帕松括号 $[A,\ B]$ 也是运动常数。

一个物理系统，假若拥有 $n$ 个自由度， $n$ 个运动常数，其任何一对运动常数的帕松括号等于零，则称此系统为完全可积分系统（completely integrable system）。称这一集合的运动常数互相对合。

量子力学

假若，一个可观测量 $Q$ 与哈密顿量 $H$ 是可交换的，而且不显性地含时间，则此可观测量是个运动常数。

导引

假设，一个可观测量 $Q=Q(x,p,t)$ 跟位置 $x$ 、动量 $p$ 、时间 $t$ 有关。再假设一个波函数 $\psi$ 遵守薛定谔方程 $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi$ 。求 $Q$ 期望值对于时间 $t$ 的导数，

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi \|Q\|\psi \rangle$
	$=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\|Q\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|Q\|{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right\rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi \|Q\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|Q\|H\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|QH\|\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle$ ；

其中， $[H,Q]=HQ-QH$ 是交换子。

假若， $Q$ 与哈密顿量 $H$ 是可交换的，而且不显性地含时间，则

{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0

。

所以， $Q$ 是运动常数。

参阅

参考文献

^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.

[1] Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.

[1]

${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle$	$={\frac {d}{dt}}\langle \psi \|Q\|\psi \rangle$
	$=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\|Q\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \|Q\|{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right\rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi \|Q\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|Q\|H\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|HQ\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi \|QH\|\psi \rangle$
	$={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi \|\left[H,Q\right]\|\psi \rangle +\left\langle \psi \|{\frac {\partial Q}{\partial t}}\|\psi \right\rangle$ ；