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二元运算

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二元运算是种数学运算,它的运算结果跟两个输入值必须是同种东西,即元数为2的运算。比如说,两个整数的加法是二元运算,因整数相加以后仍然是整数。

定义

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二元运算的定义 — 一个集合 上的二元运算是一个定义域是 到达域 函数

如果从集合 对自己的笛卡儿积 (也就是 )取出的任意 ,都会对应 的某个值 ,那对应规则 的本身就被称为二元运算。

通常写为 ,而且比起使用字母,二元运算时常以某种运算符表示,来跟普通的函数作区别。

事实上 这个记号本身就保证了:“只要 就会有 ”,这个性质也称为(二元)运算封闭性

常用性质和术语

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关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

是集合 上的二元运算,,则:

  • 为一个 左幺元,若 满足:
  • 为一个 右幺元,若 满足:
  • 幺元,若 既是左幺元、又是右幺元。

是集合 上带有单位元 的二元运算, 。则:

  • 是一个 左逆元,若 满足:
  • 是一个 右逆元,若 满足:
  • 逆元,若 既是 左逆元、又是 右逆元。这种情况下 常被写作

是集合 上的二元运算, ,则:

  • 为一个左零元,若 满足:
  • 为一个右零元,若 满足:
  • 零元,若 既是左零元、又是右零元。

是集合 上的带有零元 的二元运算, 。则:

  • 是一个左零因子,若 满足: ,使得
  • 是一个右零因子,若 满足: ,使得
  • 是一个零因子,若 既是左零因子、又是右零因子。

是集合 上的二元运算,则: 称 满足交换律,若:

是集合 上的二元运算,则: 称 满足结合律,若:

: 是集合上的二元运算,则:

满足左消去律,若满足:

满足右消去律,若满足:

满足消去律,若同时满足左消去律与右消去律。

: 是集合上的二元运算,则: 称满足幂等律,若满足:

幂幺律

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: 是集合上的二元运算,i是下的幺元, 则:称满足幂幺律,若满足:(显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律

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: 是集合上的二元运算,z是下的零元, 则:称满足幂零律,若满足:,有(显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);

: : 是集合上的两个二元运算,则:

  • 满足左分配律,若 满足:,有
  • 满足右分配律,若 满足:,有
  • 满足分配律,若 同时满足左分配律和右分配律。