二元运算是种数学运算,它的运算结果跟两个输入值必须是同种东西,即元数为2的运算。比如说,两个整数的加法是二元运算,因整数相加以后仍然是整数。
如果从集合
对自己的笛卡儿积 (也就是
)取出的任意
,都会对应
的某个值
,那对应规则
的本身就被称为二元运算。
通常写为
,而且比起使用字母,二元运算时常以某种运算符表示,来跟普通的函数作区别。
事实上
这个记号本身就保证了:“只要
就会有
”,这个性质也称为(二元)运算封闭性。
关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:
设
是集合
上的二元运算,
,则:
- 称
为一个
的左幺元,若
满足:
;
- 称
为一个
的右幺元,若
满足:
;
- 称
为
的幺元,若
既是左幺元、又是右幺元。
设
是集合
上带有单位元
的二元运算,
。则:
- 称
是一个
的左逆元,若
满足:
。
- 称
是一个
的右逆元,若
满足:
。
- 称
是
的逆元,若
既是
的左逆元、又是
的右逆元。这种情况下
常被写作
或
。
设
是集合
上的二元运算,
,则:
- 称
为一个左零元,若
满足:
;
- 称
为一个右零元,若
满足:
;
- 称
为零元,若
既是左零元、又是右零元。
设
是集合
上的带有零元
的二元运算,
且
。则:
- 称
是一个左零因子,若
满足:
,使得
。
- 称
是一个右零因子,若
满足:
,使得
。
- 称
是一个零因子,若
既是左零因子、又是右零因子。
设
是集合
上的二元运算,则:
称
满足交换律,若:
;
设
是集合
上的二元运算,则:
称
满足结合律,若:
;
设
:
是集合
上的二元运算,则:
称
满足左消去律,若
满足:
称
满足右消去律,若
满足:
称
满足消去律,若
同时满足左消去律与右消去律。
设
:
是集合
上的二元运算,则:
称
满足幂等律,若
满足:
;
设
:
是集合
上的二元运算,i是
在
下的幺元,
则:称
满足幂幺律,若
满足:
(显然此时每个元素都是它自己的逆元);
设
:
是集合
上的二元运算,z是
在
下的零元,
则:称
满足幂零律,若
满足:
,有
(显然此时每个元素都是零元,而且既是左零元又是右零元);
设
:
和
:
是集合
上的两个二元运算,则:
- 称
对
满足左分配律,若
,
满足:
,有
;
- 称
对
满足右分配律,若
,
满足:
,有
;
- 称
对
满足分配律,若
对
同时满足左分配律和右分配律。