弗罗贝尼乌斯自同态

在数学中，特别交换代数和域理论中，弗罗贝尼乌斯自同态（Frobenius endomorphism，简称弗罗贝尼乌斯）是特征为素数p 的交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p 次乘幂。

x\mapsto x^{p}

在一般情况下，弗罗贝尼乌斯并不总是自同构。

定义

设R 是一个交换环，特征是素数p。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为：

F:\,x\mapsto x^{p}

这是一个自同态，因为首先对于乘法，它必然服从

F(xy)=(xy)^{p}=x^{p}y^{p}=F(x)F(y)

并且F(1) 也显然是1。然而同时，对于加法，也有：

F(x+y)=F(x)+F(y)

这是因为 $F(x+y)=(x+y)^{p}$ ，而其中除了 $x^{p}$ 和 $y^{p}$ 两项之外，其余的每一项都是p的倍数。事实上，其余的每一项都是 ${\binom {p}{k}}x^{k}y^{p-k}$ ，也就是 ${\frac {p!}{k!(p-k)!}}x^{k}y^{p-k}$ 的形式，其中k 是一个介于1和p-1 之间的整数。这样，分母 $k!(p-k)!$ 无法被p 整除，而分子可以被p 整除。于是，整体来说是p 的倍数。因此，由于环的特征是p，这一项实际是0。从而：

F(x+y)=(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}x^{k}y^{p-k}

=x^{p}+y^{p}=F(x)+F(y)

综上，弗罗贝尼乌斯自同态是满足自同态的定义的。

一般来说，弗罗贝尼乌斯自同态F 不是自同构，也就是说它不是一个一一映射。举例来说，令K为域F_p(t)，也就是在p 阶有限域F_p 中加入一个新的超越元素t 扩展得到的扩域。显然，由于t 是超越元，它不可能在F 的像集里面，否则t 就会是一个F_p-多项式的根，而不是超越元素。也就是说，F 不是自同构。

弗罗贝尼乌斯的不动点

设R 为一个特征是p 的整环。这里弗罗贝尼乌斯F 的不动点是所有使得方程 x^p = x 成立的元素，也就是多项式x^p - x。根据费马小定理，这个多项式的全部根是0, 1, 2, ..., p - 1。因此，弗罗贝尼乌斯的不动点是R 中的素域。

有限域的弗罗贝尼乌斯

令 F_q 为一个阶数等于q 的有限域，其中的q = p^d，p 是域的特征。弗罗贝尼乌斯将域中的 F_p 部分之中的元素映射到自身。可以证明，F 生成了域扩张 $F_{p}\subset F_{q}$ 的伽罗瓦群。

参考资料

Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications). Chapman and Hall/CRC. 2008. ISBN 978-1-420-07146-7.

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