弗羅貝尼烏斯自同態

在數學中，特別交換代數和域理論中，弗羅貝尼烏斯自同態（Frobenius endomorphism，簡稱弗羅貝尼烏斯）是特徵為素數p 的交換環中的一個特殊的自同態。這個自同態以德國數學家費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯命名。弗羅貝尼烏斯自同態將環中的每個元素射到它的p 次乘冪。

x\mapsto x^{p}

在一般情況下，弗羅貝尼烏斯並不總是自同構。

定義

設R 是一個交換環，特徵是素數p。定義環上的弗羅貝尼烏斯自同態F 為：

F:\,x\mapsto x^{p}

這是一個自同態，因為首先對於乘法，它必然服從

F(xy)=(xy)^{p}=x^{p}y^{p}=F(x)F(y)

並且F(1) 也顯然是1。然而同時，對於加法，也有：

F(x+y)=F(x)+F(y)

這是因為 $F(x+y)=(x+y)^{p}$ ，而其中除了 $x^{p}$ 和 $y^{p}$ 兩項之外，其餘的每一項都是p的倍數。事實上，其餘的每一項都是 ${\binom {p}{k}}x^{k}y^{p-k}$ ，也就是 ${\frac {p!}{k!(p-k)!}}x^{k}y^{p-k}$ 的形式，其中k 是一個介於1和p-1 之間的整數。這樣，分母 $k!(p-k)!$ 無法被p 整除，而分子可以被p 整除。於是，整體來說是p 的倍數。因此，由於環的特徵是p，這一項實際是0。從而：

F(x+y)=(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}+\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}x^{k}y^{p-k}

=x^{p}+y^{p}=F(x)+F(y)

綜上，弗羅貝尼烏斯自同態是滿足自同態的定義的。

一般來說，弗羅貝尼烏斯自同態F 不是自同構，也就是說它不是一個一一映射。舉例來說，令K為域F_p(t)，也就是在p 階有限域F_p 中加入一個新的超越元素t 擴展得到的擴域。顯然，由於t 是超越元，它不可能在F 的像集裡面，否則t 就會是一個F_p-多項式的根，而不是超越元素。也就是說，F 不是自同構。

弗羅貝尼烏斯的不動點

設R 為一個特徵是p 的整環。這裡弗羅貝尼烏斯F 的不動點是所有使得方程 x^p = x 成立的元素，也就是多項式x^p - x。根據費馬小定理，這個多項式的全部根是0, 1, 2, ..., p - 1。因此，弗羅貝尼烏斯的不動點是R 中的素域。

有限域的弗羅貝尼烏斯

令 F_q 為一個階數等於q 的有限域，其中的q = p^d，p 是域的特徵。弗羅貝尼烏斯將域中的 F_p 部分之中的元素映射到自身。可以證明，F 生成了域擴張 $F_{p}\subset F_{q}$ 的伽羅瓦群。

參考資料

Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications). Chapman and Hall/CRC. 2008. ISBN 978-1-420-07146-7.

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