链复形

数学上，同调代数领域中的一个链复形$(A_{\bullet },d_{\bullet })$是一个交换群或者模的序列A₀, A₁, A₂... 通过一系列同态d_n : A_n→A_n-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：d_n o d_n+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式：

$\ldots \longrightarrow A_{n+1}{\begin{matrix}d_{n+1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{2}{\begin{matrix}d_{2}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}0.$

定义链复形的同调群为 $H_{n}(A_{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d_{n})/\mathrm {Im} (d_{n+1})$。当所有同调群为零时，此链复形为正合的。

链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形$(A^{\bullet },d^{\bullet })$是一个交换群或者模的序列A₀, A₁, A₂...由一系列同态d_n : A_n→A_n+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：d_n+1 o d_n = 0 对于所有的n:

$0\longrightarrow A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n+1}\longrightarrow \ldots .$

定义上链复形的上同调群为 $H^{n}(A^{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d^{n})/\mathrm {Im} (d^{n-1})$。当所有上同调群为零时，此上链复形正合。想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。

一个有界复形是其中，几乎所有的A_i为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。

例子

奇异同调

假定我们给定一个拓扑空间X。

定义C_n(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射

$\partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X):\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\partial _{n}\sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),$

其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以$(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$是一个链复形；奇异同调 $H_{\bullet }(X)$是该复形的同调类；也就是说，

$H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/{\mbox{im }}\partial _{n+1}$.

德拉姆上同调

任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个R-向量空间）称为Ω^k(M)。 外导数 d = d _k 映射 Ω^k(M) → Ω^k+1(M)，而且d ² = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形：

$\Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .$

该复形的上同调是德拉姆上同调

$H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k+1}/{\mbox{im }}d_{k}$.

链映射

两个链复形 $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$、$(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ 之间的链映射是一族同态 $f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}$，使之满足： $f_{n}\circ d_{A,n}=d_{B,n}\circ f_{n+1}$；全体链复形依此构成一范畴。链映射诱导出同调群间的映射。

上链复形的情形类似：两个上链复形 $(X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })$、$(Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })$ 之间的上链映射是一族同态 $f^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n}$，使之满足： $f^{n+1}\circ d_{X}^{n}=d_{Y}^{n}\circ f^{n}$。上链映射也诱导出上同调群间的映射。

举例来说，拓扑空间之间的连续映射诱导出奇异上同调的链映射；而光滑流形间的光滑映射则诱导出德拉姆上同调的上链映射。这是函子性或称自然性的一个例子：空间与映射的拓扑/几何性质借此反映在代数结构上，因而变得容易操作与计算。

链同伦

两个链映射 $f_{n},g_{n}:A_{\bullet }\rightarrow B_{\bullet }$ 称作是同伦的，当且仅当存在一族同态 $D_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n+1}$ 使得 $f_{n}-g_{n}=d_{n+1}\circ D_{n}+D_{n-1}\circ d_{n}$。

上链映射的同伦定义也类似，惟此时考虑的是一族同态 $D^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n+1}$。以下给出上链同伦的图解：

（上）链同伦的链映射在（上）同调群上诱导出相同的映射。特别是：同伦于恒等映射 id. 的（上）链映射是拟同构。

链映射的同伦可理解作单纯形同伦的代数翻译。

参看

• 同调
• 微分分级代数