此条目页的主题是小于等于
n 的正整数中与
n 互质 的数的数目。关于形式为
ϕ
(
q
)
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
q
k
)
{\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}
的函数,请见“
欧拉函数 (复变函数) ”。
当n 为1至1000的整数时
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
的值
在数论 中,对正整数 n ,欧拉函数
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
是小于等于n 的正整数中与n 互质 的数的数目。此函数 以其首名研究者欧拉 命名,它又称为φ函数 (由高斯 所命名)或是欧拉总计函数 [ 1] (totient function,由西尔维斯特 所命名)。
例如
φ
(
8
)
=
4
{\displaystyle \varphi \left(8\right)=4}
,因为1、3、5和7均与8互质 。
欧拉函数实际上是模n 的同余类 所构成的乘法群 (即环
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
的所有单位元 组成的乘法群)的阶 。这个性质与拉格朗日定理 一起构成了欧拉定理 的证明。
1736年,欧拉证明了费马小定理 [ 2] :
假若
p
{\displaystyle p}
为质数,
a
{\displaystyle a}
为任意正整数,那么
a
p
−
a
{\displaystyle a^{p}-a}
可被
p
{\displaystyle p}
整除。
然后欧拉予以一般化:
假若
a
{\displaystyle a}
与
n
{\displaystyle n}
互质,那么
a
φ
(
n
)
−
1
{\displaystyle a^{\varphi (n)}-1}
可被
n
{\displaystyle n}
整除。亦即,
a
φ
(
n
)
≡
1
(
mod
n
)
{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
。
其中
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
即为欧拉总计函数。如果
n
{\displaystyle n}
为质数,那么
φ
(
n
)
=
n
−
1
{\displaystyle \varphi (n)=n-1}
,因此,有高斯的版本[ 3] :
假若
p
{\displaystyle p}
为质数,
a
{\displaystyle a}
与
p
{\displaystyle p}
互质(
a
{\displaystyle a}
不是
p
{\displaystyle p}
的倍数),那么
a
p
−
1
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
。
以下为
n
{\displaystyle n}
为
1
{\displaystyle 1}
至
100
{\displaystyle 100}
时,对应
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
的值
φ (n ) for 1 ≤ n ≤ 100
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
10
10
4
12
6
8
8
16
6
18
8
20
12
10
22
8
20
12
18
12
28
8
30
30
16
20
16
24
12
36
18
24
16
40
40
12
42
20
24
22
46
16
42
20
50
32
24
52
18
40
24
36
28
58
16
60
60
30
36
32
48
20
66
32
44
24
70
70
24
72
36
40
36
60
24
78
32
80
54
40
82
24
64
42
56
40
88
24
90
72
44
60
46
72
32
96
42
60
40
若
n
{\displaystyle n}
有标准分解
p
1
k
1
p
2
k
2
⋯
p
r
k
r
{\displaystyle p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
(其中各
p
i
{\displaystyle p_{i}}
为互异的质因子,各
k
i
≥
1
{\displaystyle k_{i}\geq 1}
为质因子的次数),则欧拉函数在该处的值为
φ
(
n
)
=
p
1
k
1
−
1
p
2
k
2
−
1
⋯
p
r
k
r
−
1
(
p
1
−
1
)
(
p
2
−
1
)
⋯
(
p
r
−
1
)
,
{\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}p_{2}^{k_{2}-1}\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{r}-1),}
亦可等价地写成
φ
(
n
)
=
n
(
1
−
1
p
1
)
(
1
−
1
p
2
)
⋯
(
1
−
1
p
r
)
.
{\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).}
此结果可由
φ
{\displaystyle \varphi }
在质数幂处的取值,以及其积性 得到。
最简单的情况有
φ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \varphi (1)=1}
(小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)。
一般地,若n 是质数 p 的k 次幂 ,则
φ
(
n
)
=
φ
(
p
k
)
=
p
k
−
p
k
−
1
=
(
p
−
1
)
p
k
−
1
{\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}}
,因为除了p 的倍数 外,其他数都跟n 互质。
欧拉函数是积性函数 ,即是说若m ,n 互质,则
φ
(
m
n
)
=
φ
(
m
)
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}
。使用中国剩余定理 有较简略的证明:设A , B , C 是跟m , n , mn 互质的数的集,据中国剩余定理 ,
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
和
C
{\displaystyle C}
可建立双射 (一一对应)关系,因此两者元素个数相等。
较详细的证明如下:
设
N
<
m
n
{\displaystyle N<mn}
,且
N
=
k
1
m
+
p
=
k
2
n
+
q
{\displaystyle N=k_{1}m+p=k_{2}n+q}
。若
N
{\displaystyle N}
与
m
n
{\displaystyle mn}
互质,则
N
{\displaystyle N}
与
m
{\displaystyle m}
、
n
{\displaystyle n}
均互质。又因为
(
k
1
m
+
p
,
m
)
=
(
p
,
m
)
,
(
k
2
n
+
q
,
n
)
=
(
q
,
n
)
{\displaystyle (k_{1}m+p,m)=(p,m),(k_{2}n+q,n)=(q,n)}
,若
p
,
q
{\displaystyle p,q}
分别与
m
,
n
{\displaystyle m,n}
互质,则
N
{\displaystyle N}
一定和
m
n
{\displaystyle mn}
互质。反之亦然,即若
N
{\displaystyle N}
与
m
n
{\displaystyle mn}
互质,则亦有
p
,
q
{\displaystyle p,q}
分别与
m
,
n
{\displaystyle m,n}
互质。
由中国剩余定理 ,方程组
{
N
≡
p
(
mod
m
)
N
≡
q
(
mod
n
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.}
的通解可以写成
N
=
k
m
n
+
p
t
1
n
+
q
t
2
m
(
k
∈
Z
)
,
{\displaystyle N=kmn+pt_{1}n+qt_{2}m\ (k\in \mathbb {Z} ),}
其中
t
1
,
t
2
{\displaystyle t_{1},t_{2}}
为固定的整数,故二元组
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
(要满足
0
<
p
≤
m
,
0
<
q
≤
n
,
(
p
,
m
)
=
1
,
(
q
,
n
)
=
1
{\displaystyle 0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1}
)与小于
m
n
{\displaystyle mn}
且与
m
n
{\displaystyle mn}
互质的正整数
N
{\displaystyle N}
一一对应。
由
φ
{\displaystyle \varphi }
的定义(和乘法原理 ),前一种数对
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
的个数为
φ
(
m
)
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)}
。而后一种数
N
{\displaystyle N}
的个数为
φ
(
m
n
)
{\displaystyle \varphi (mn)}
。
所以,
φ
(
m
n
)
=
φ
(
m
)
φ
(
n
)
.
{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).}
结合以上两小节的结果可得:若
n
{\displaystyle n}
有质因数分解式
n
=
p
1
k
1
p
2
k
2
⋯
p
r
k
r
{\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
,则
φ
(
n
)
=
φ
(
∏
i
=
1
r
p
i
k
i
)
=
∏
i
=
1
r
φ
(
p
i
k
i
)
( 积 性 )
=
∏
i
=
1
r
p
i
k
i
−
1
(
p
i
−
1
)
( 质 数 幂 处 取 值 )
=
n
∏
i
=
1
r
(
1
−
1
p
i
)
.
{\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\right)\\&=\prod _{i=1}^{r}\varphi \left(p_{i}^{k_{i}}\right)&{\text{( 积 性 )}}\\&=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)&{\text{( 质 数 幂 处 取 值 )}}\\&=n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\end{aligned}}}
计算
72
=
2
3
×
3
2
{\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}}
的欧拉函数值:
φ
(
72
)
=
φ
(
2
3
×
3
2
)
=
2
3
−
1
(
2
−
1
)
×
3
2
−
1
(
3
−
1
)
=
2
2
×
1
×
3
×
2
=
24.
{\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.}
n 的欧拉函数
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
也是循环群 C n 的生成元 的个数(也是n 阶分圆多项式 的次数)。C n 中每个元素都能生成 C n 的一个子群 ,即必然是某个子群的生成元。而且按照定义,不同的子群不可能有相同的生成元。此外, C n 的所有子群都具有 C d 的形式,其中d 整除 n (记作d | n )。因此只要考察n 的所有因数 d ,将 C d 的生成元个数相加,就将得到 C n 的元素总个数:n 。也就是说:
∑
d
∣
n
φ
(
d
)
=
n
{\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}
其中的d 为n 的正约数。
运用默比乌斯反转公式 来“翻转”这个和,就可以得到另一个关于
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
的公式:
φ
(
n
)
=
∑
d
∣
n
d
⋅
μ
(
n
/
d
)
{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}
其中 μ 是所谓的默比乌斯函数 ,定义在正整数 上。
对任何两个互质 的正整数a , m (即 gcd(a ,m ) = 1),
m
≥
2
{\displaystyle m\geq 2}
,有
a
φ
(
m
)
≡
1
(
mod
m
)
{\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}
即欧拉定理 。
这个定理可以由群论中的拉格朗日定理 得出,因为任意与m 互质的a 都属于环
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
的单位元组成的乘法群
Z
/
n
Z
×
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }}
当m 是质数 p 时,此式则为:
a
p
−
1
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
即费马小定理 。
欧拉商数 (totient number)指的是欧拉函数的值,也就是说,若m 是一个欧拉商数,那至少存在一个n ,使得φ (n ) = m 。而欧拉商数m 的“重复度”(valency或multiplicity),指的是这等式的解数。[ 4] 相对地,一个非欧拉商数 指的是不是欧拉商数的自然数。显然所有大于1的奇数都是非欧拉商数,此外也存有无限多的偶数是非欧拉商数,[ 5] 且所有的正整数都有一个倍数是非欧拉商数。[ 6]
不大于x 的欧拉商数个数可由以下公式给出:
x
log
x
e
(
C
+
o
(
1
)
)
(
log
log
log
x
)
2
{\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}
其中C = 0.8178146... 。[ 7]
考虑重复度,那么不大于x 的欧拉商数个数可由以下公式给出:
|
{
n
:
φ
(
n
)
≤
x
}
|
=
ζ
(
2
)
ζ
(
3
)
ζ
(
6
)
⋅
x
+
R
(
x
)
{\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}
其中对任意正数k 而言,误差项R 至多与x / (log x )k 成比例。[ 8]
目前已知对于任意的δ < 0.55655 而言,有无限多个m ,其重复度超过m δ 。[ 9] [ 10]
Ford (1999) harvtxt error: no target: CITEREFFord1999 (help ) 证明说对于任意整数k ≥ 2 而言,总存在一个欧拉商数m ,其重复度为k ,也就是说总有数字使得这等式φ (n ) = m 有刚好k 个解。这结果由瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基 所猜测,[ 11] 且是Schinzel猜想H 的一个结果。[ 7] 事实上,对于任何出现的重复度而言,该重复度会出现无限多次。[ 7] [ 10]
然而,没有任何数字m 的重复度为k = 1 。卡迈克尔猜想的欧拉函数猜想 讲的是没有m 的重复度为k = 1 。[ 12]
完全欧拉商数(perfect totient number)是一个等同于其欧拉函数迭代总和的整数,也就是说,如果将欧拉函数套用在一个正整数
n
{\displaystyle n}
之后,并将欧拉函数套用在如此所得的结果上,如此下去,直到最后得到1为止,并将这一系列的数给加总起来。若这总和为
n
{\displaystyle n}
,那么
n
{\displaystyle n}
就是一个完全欧拉商数。
以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质:
∑
d
|
n
φ
(
d
)
=
n
{\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}
。
由
φ
{\displaystyle \varphi }
(n )生成的狄利克雷级数 是:
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}
其中ζ(s )是黎曼ζ函数 。推导过程如下:
ζ
(
s
)
∑
f
=
1
∞
φ
(
f
)
f
s
=
(
∑
g
=
1
∞
1
g
s
)
(
∑
f
=
1
∞
φ
(
f
)
f
s
)
{\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}
.
=
∑
h
=
1
∞
(
∑
f
g
=
h
1
⋅
φ
(
g
)
)
1
h
s
{\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
.
=
∑
h
=
1
∞
(
∑
f
g
=
h
φ
(
g
)
)
1
h
s
=
∑
h
=
1
∞
(
∑
d
|
h
φ
(
d
)
)
1
h
s
{\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}
使用开始时的等式,就得到:
∑
h
=
1
∞
(
∑
d
|
h
φ
(
d
)
)
1
h
s
=
∑
h
=
1
∞
h
h
s
{\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}
于是
∑
h
=
1
∞
h
h
s
=
ζ
(
s
−
1
)
{\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}
欧拉函数生成的朗贝级数 如下:
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
q
(
1
−
q
)
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
其对于满足 |q |<1 的q 收敛 。
推导如下:
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
∑
r
≥
1
q
r
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}
后者等价于:
∑
k
≥
1
q
k
∑
n
|
k
φ
(
n
)
=
∑
k
≥
1
k
q
k
=
q
(
1
−
q
)
2
.
{\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}
随着n 变大,估计
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
的值是一件很难的事。当n 为质数时,
φ
(
n
)
=
n
−
1
{\displaystyle \varphi (n)=n-1}
,但有时
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
又与n 差得很远。
在n 足够大时,有估计:
对每个 ε > 0,都有n > N (ε)使得
n
1
−
ε
<
φ
(
n
)
<
n
{\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}
如果考虑比值:
φ
(
n
)
/
n
,
{\displaystyle \,\varphi (n)/n,}
由以上已经提到的公式,可以得到其值等于类似
1
−
p
−
1
{\displaystyle 1-p^{-1}}
的项的乘积。因此,使比值小的n 将是两两不同的质数的乘积。由素数定理 可以知道,常数 ε 可以被替换为:
C
log
log
n
/
log
n
.
{\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}
φ
{\displaystyle \varphi }
就平均值的意义上来说是与n 很相近的,因为:
1
n
2
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
=
3
π
2
+
O
(
log
n
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
其中的O 表示大O符号 。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n } 中随机选取两个数,则当n 趋于无穷大时,它们互质的概率趋于
6
/
π
2
{\displaystyle 6/\pi ^{2}}
。一个相关的结果是比值
φ
(
n
)
/
n
{\displaystyle \varphi (n)/n}
的平均值:
1
n
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
k
=
6
π
2
+
O
(
log
n
n
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).}
φ
(
n
m
)
=
n
m
−
1
φ
(
n
)
{\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
∀
a
∈
N
,
∀
n
∈
N
,
∃
l
∈
N
{\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}
使得
[
(
a
>
1
∧
n
>
1
)
→
(
l
|
φ
(
a
n
−
1
)
∧
l
≥
n
)
]
{\displaystyle [(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]}
∀
a
∈
N
,
∀
n
∈
N
,
∃
l
∈
N
{\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}
使得
[
(
a
>
1
∧
n
>
6
∧
4
∤
n
)
→
(
l
|
φ
(
a
n
−
1
)
∧
l
≥
2
n
)
]
{\displaystyle [(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]}
∑
d
∣
n
μ
2
(
d
)
φ
(
d
)
=
n
φ
(
n
)
{\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
∑
1
≤
k
≤
n
(
k
,
n
)
=
1
k
=
1
2
n
φ
(
n
)
for
n
>
1
{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
=
1
2
(
1
+
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
⌊
n
k
⌋
2
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
k
=
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
k
⌊
n
k
⌋
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }
∑
k
=
1
n
k
φ
(
k
)
=
O
(
n
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}
∑
k
=
1
n
1
φ
(
k
)
=
O
(
log
(
n
)
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}
φ
(
n
)
>
n
e
γ
log
log
n
+
3
log
log
n
{\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}
,其中n > 2,γ 为欧拉-马歇罗尼常数 。
φ
(
n
)
≥
n
2
{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}
,其中n > 0。
对整数n > 6,
φ
(
n
)
≥
n
{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}}
。
当n 为质数时,显然有
φ
(
n
)
=
n
−
1
{\displaystyle \varphi (n)=n-1}
。对于合数 的n ,则有:
φ
(
n
)
≤
n
−
n
{\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}
若p 是质数,则有φ (p ) = p − 1 。1932年,德里克·亨利·莱默 问说是否有合成数n 使得φ (n ) 整除n − 1 。目前未知是否有这样的数存在。[ 13]
1933年莱默证明说若有这样的
n
{\displaystyle n}
,那么
n
{\displaystyle n}
必然是奇数、必然是无平方因子数 ,且必然有至少七个不同的质因数(
ω
(
n
)
≥
7
{\displaystyle \omega (n)\geq 7}
)。1980年,Cohen和Hagis证明了说,若这样的
n
{\displaystyle n}
存在,则
n
>
10
20
{\displaystyle n>10^{20}}
且
n
{\displaystyle n}
有至少14个不同的质因数(
ω
(
n
)
≥
14
{\displaystyle \omega (n)\geq 14}
);[ 14] 此外,Hagis证明了说若这样的
n
{\displaystyle n}
存在且可被3除尽,那么
n
>
10
1937042
{\displaystyle n>10^{1937042}}
且
n
{\displaystyle n}
有至少298848个不同的质因数(
ω
(
n
)
≥
298848
{\displaystyle \omega (n)\geq 298848}
)。[ 15] [ 16]
此猜想认为说不存在正整数n ,使得对于所有其他的m 而言,在m ≠ n 的状况下必有φ (m ) ≠ φ (n ) 。可见上述Ford定理 一节的说明。
若有一个如此的反例存在,就必有无限多的反例存在,而最小的可能反例,在十进制下,其位数超过一百亿。[ 4]
黎曼猜想 成立,当且仅当以下不等式对所有的n ≥ p 120569 # 成立。此处的p 120569 # 是最初的120569 个质数的乘积 :
n
φ
(
n
)
<
e
γ
log
log
n
+
e
γ
(
4
+
γ
−
log
4
π
)
log
n
{\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}
此处的γ 是欧拉常数 。[ 17]
template < typename T >
inline T phi ( T n ) {
T ans = n ;
for ( T i = 2 ; i * i <= n ; ++ i )
if ( n % i == 0 ) {
ans = ans / i * ( i - 1 );
while ( n % i == 0 ) n /= i ;
}
if ( n > 1 ) ans = ans / n * ( n - 1 );
return ans ;
}
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