整函數

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整函數entire function)是在整個複平面上全純的函數。典型的例子有多項式函數、指數函數、以及它們的和、積及複合函數。每一個整函數都可以表示為處處收斂的冪級數。而對數函數平方根都不是整函數。

整函數可以用上極限定義如下:

其中是到的距離,的最大絕對值。如果,我們也可以定義它的類型

整函數在無窮遠處可能具有奇點,甚至是本性奇點,這時該函數便稱為超越整函數。根據劉維爾定理,在整個黎曼球面(複平面和無窮遠處的點)上的整函數是常數。

劉維爾定理確立了整函數的一個重要的性質:任何一個有界的整函數都是常數。這個性質可以用來證明代數基本定理皮卡小定理強化了劉維爾定理,它表明任何一個不是常數的整函數都取遍所有的複數值,最多只有一個值例外,例如指數函數永遠不能是零。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • Ralph P. Boas. Entire Functions. Academic Press. 1954. OCLC 847696.