图 1:钢的临界应力与細长比,E = 200 GPa,降伏强度 = 240 MPa。
尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下: [1]
![{\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6860ead0e30317b12c1c35e4cb322c797166b3bb)
其中
, 尤拉临界負载(柱上的纵向压缩負载),
,柱體材料的杨氏模數,
,柱體横截面的最小面积惯性矩,
, 柱體的无支撑长度,
,柱體有效长度係數
这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲(挫曲)的最大負载。对于小于临界負载的應力,柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力,柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力,使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载,横向形變量会增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。
大約在1900年, J. B. Johnson 提出在低細長比下,應該使用不同的方程式。
模型假设[编辑]
图 2:尤拉临界負载的柱體有效长度係数。在实际设计時,建议增加為如上图所示的係数。
在推导尤拉公式時所做的假设如下: [2]
- 柱體材料均质且具等向性。
- 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
- 柱子没有初始应力。
- 柱子的重量被忽略。
- 柱子最初是直的(轴向負载没有偏移)。
- 销接头无摩擦(无力矩约束),若是固定端則無刚性(无旋转偏转)。
- 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。
- 與弯曲應力相比,直接应力非常小(材料仅在弹性应变范围内被压缩)。
- 細長比很高,与柱的横截面尺寸相比,柱的长度非常長。
- 该柱仅因挫曲而失效,即柱中的压应力不超过降伏强度
(见图1):
![{\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326f9fef095e2c76bed75703cf8291e2f8f8f8c2)
其中:
, 细长比,
,有效长度,
,迴转半径,
, 面积惯性矩,
, 横截面面積。
对于细长柱體,临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下,坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力,即它會在挫曲之前就先降伏。
数学推导[编辑]
銷接端點的柱體[编辑]
以下模型适用于两端為简支承的柱子(
)。
首先,我们要注意銷接端没有反作用力,所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性(所以应力应该在相同的方向)和力矩平衡(所以应力应该在相反的方向)得到。
使用圖 3 右側的自由体图,并將点 x 的力矩加總:
![{\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee9234dc55c68dd056549af3eefa7d4be008492)
其中 w 是横向變形。
根据尤拉-伯努利樑理论,樑的挠度与其弯矩的關係式为:
,
图 3:挫曲負载作用在兩端為銷接點的柱體
让
, 所以:
![{\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6f473c0e000639744e15622a03fb16a42a4860)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472e137dd35e95e1f85b9603e191c06d6f2d6e7b)
我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。
该方程的通解为:
, 這裡的
和
常数由边界条件所定義,它们是:
- 左端點固定
![{\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5704b7df5589bb9469f5cf41c924735c1e4065e0)
- 右端點固定
![{\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09e99599e26bc7cdda7266d0e5708b6839b3ea6)
图 4:前三种挫曲負载模態
如果
,没有弯矩存在,我们得到了平凡解
。
但是,从其他解
我们得到
, 其中
再加上前述的
,各种临界負载是:
, 为了![{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a19cb2cfd4f9ebdbc8e5cbb9b92ecb9ace85cab)
并取决于
的值 ,产生不同的挫曲模態[3] ,如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。
理论上任何挫曲模態都有可能出現,但在缓慢施加負载的情况下,可能只会产生第一种模态形状。
因此,銷端柱的尤拉临界負载為:
![{\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7179f6c9b349f9a8df1179a4432549e9a43b14)
得到柱的第一模态挫曲形状为:
.
通常的做法[编辑]
图 5:作用在柱上的力與力矩。
[4]樑軸向的微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105a17c2ad54d4c8acf138c258be28ad3e89b304)
对于仅具有轴向負载的柱,横向負载
消失,再代入
可得到:
![{\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09aa1dffac469007d599713fdcb31ad8681b3dda)
这是一个齐次四阶微分方程,其通解为
![{\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477c8ed03b89cde7f58529c7bde9a47f04126be4)
四个常数
由兩端边界条件所决定的
來得到。有以下三种情况:
- 銷接端 (Pinned end):
和![{\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40010025ee578deb3d89965e6066943aa85844af)
- 固定端 (Fixed end):
和![{\displaystyle {dw \over dx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4aedf38b5ec48c32db6678348e5bad5093f531)
- 自由端 (Free end):
和![{\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebec3cf9c4a0d0eb155a1b10544284c960217b2)
对于这些边界条件的每一种组合,都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题,我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。
参考資料[编辑]
- ^ Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. (原始内容存档于2022-05-12).
- ^ Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. (原始内容存档于2021-10-08) (英语).
- ^ Buckling of Columns (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2015-05-28).
- ^ Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.