费马小定理(英語:Fermat's little theorem)是数论中的一个定理。假如
是一个整数,
是一个質数,那么
是
的倍数,可以表示为
![{\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff656f721894b9a50a2b1d18538463a6a4ec15f)
如果
不是
的倍数,這個定理也可以寫成更加常用的一種形式
[1][註 1]
註:如果
是
的倍数,則
![{\displaystyle a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c34a977d62179acf61c6935a2ec6e07ffd669f5)
費馬小定理的逆敘述不成立,即假如
是
的倍数,
不一定是一个質数。例如
是
的倍数,但
,不是質数。滿足費馬小定理的合數被稱為费马伪素数。
皮埃爾·德·費馬
皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。
1736年,歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”[2]的論文集,其中第一次给出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。
有些數學家獨立提出相關的假說(有時也被錯誤地稱為中國猜想),當
成立時,p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而,這一假說的前設是錯的:例如,
,而341=11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。
如上所述,中國猜想仅有一半是正确的。符合中國猜想但不是素数的数被称为伪素数。
更极端的反例是卡迈克尔数:
假設
與561互质,則
被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數,561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义,但直到1910年才由卡邁克爾(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡邁克爾数:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。
(i)若
是整数,
是质数,且
。若
不能整除
,则
不能整除
。取整數集
为所有小於
的正整数集合(
构成
的完全剩余系,即
中不存在两个数同余
),
是
中所有的元素乘以
组成的集合。因为
中的任何两个元素之差都不能被
整除,所以
中的任何两个元素之差也不能被
整除。
換句話說,
,考慮
共
個數,將它們分別除以
,餘數分別為
,則集合
為集合
的重新排列,即
在餘數中恰好各出現一次;這是因為對於任兩個相異
而言(
),其差不是
的倍數(所以不會有相同餘數),且任一個
亦不為
的倍數(所以餘數不為0)。因此
![{\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (p-1)\equiv (1\cdot a)\cdot (2\cdot a)\cdot \dots \cdot ((p-1)\cdot a){\pmod {p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbb68e559cc60d5ee0f7519544472d06b2224ba)
即
![{\displaystyle W\equiv W\cdot a^{p-1}{\pmod {p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be677beeb9026d6c3ecde22c1abcd1d0cfec5308)
在这里
,且
,因此将整个公式除以
即得到:
[3]
- 也即
![{\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff656f721894b9a50a2b1d18538463a6a4ec15f)
(ii)若
整除
,则显然有
整除
,即
。
若
为质数,
为整数,且
。考慮二項式係數
,並限定
不為
或
,則由於分子有質數
,但分母不含
,故分子的
能保留,不被約分而除去,即
恆為
的倍數[4]。
再考慮
的二項式展開,模
,則
![{\displaystyle (b+1)^{p}\equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{p-1}}b^{p-1}+{\dbinom {p}{p-2}}b^{p-2}+\dots +{\dbinom {p}{2}}b^{2}+{\dbinom {p}{1}}b^{1}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ac8532934492357eadfe3c236cf777c8fa3754)
![{\displaystyle \equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4a9ddcad074ce4a393fcc177f3f4242538b680)
![{\displaystyle \equiv b^{p}+1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec6f74cdd9a357b60669629e1fb7bc5fb94bd52)
因此
![{\displaystyle (b+1)^{p}\equiv b^{p}+1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31482c11fab2e81e2594d81496bf86ef35443c7)
![{\displaystyle \equiv (b-1)^{p}+1+1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404c1d92ff2d3ed99878070d7b32fcea16e1300d)
![{\displaystyle \equiv (b-2)^{p}+1+1+1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fb1f386fc0658b396c378c92263d27830652b2)
![{\displaystyle \equiv (b-3)^{p}+1+1+1+1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d526ae063c7a09ab1cd51e30d612e0af70504b4)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
![{\displaystyle \equiv {\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1+1} \\b+1\end{matrix}}{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7717984d57085b276b171b2d9401ae787933a6fc)
![{\displaystyle \equiv b+1{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822bb0f8e64619037bec9d816800c78621a156b8)
令
,即得
。[3]
在抽象代数教科书中,费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子[5]。显然只需考虑
情形。此时模
所有非零的余数,在同余意义下对乘法构成一个群,这个群的阶是
。考虑群中的任何一个元素
,根据拉格朗日定理,
的阶必整除群的阶。证毕。
- 計算
除以13的餘數
![{\displaystyle 2^{100}\equiv 2^{12\times 8+4}{\pmod {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3190d6a070f03e1042e4496b32bb80059682c99e)
![{\displaystyle \equiv (2^{12})^{8}\cdot 2^{4}{\pmod {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2350fd981e412bb55c1a31ee553f0c4d721218)
![{\displaystyle \equiv 1^{8}\cdot 16{\pmod {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780be17c9a2750122321487d8c8ebbf4dacfc740)
![{\displaystyle \equiv 16{\pmod {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9598173429d851e085c58566885ea6de6239afd3)
![{\displaystyle \equiv 3{\pmod {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75da65577ca8c5dfeda46defe1b607dd9bd8739a)
故餘數為3。
- 證明對於任意整數a而言,
恆為2730的倍數。
- 易由
推得
,其中
為正整數。
- 故對指數13操作如下:13減1為12,12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12,分別加1,為2, 3, 4, 5, 7, 13,其中2, 3, 5, 7, 13為質數,根據定理的延伸表達式,
為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數,即2*3*5*7*13=2730的倍數。
- 證明對於任意整數a而言,
恆為3300的倍數。
證明
為132的倍數。
- 模仿前述操作,11減1為10,10的正因數有1, 2, 5, 10,分別加1,為2, 3, 6, 11,其中2, 3, 11為質數,因此
為2, 3, 11的最小公倍數的倍數,即66的倍數。
- 考慮
,因為奇數的11次方仍為奇數,且奇數與奇數之和為偶數,故當a為奇數時,
為偶數;同理可知當a為偶數時,
仍為偶數。因此當a為任意整數時,
為偶數。
- 因此
的倍數
的倍數
的倍數。
為25的倍數。
- 由後文的欧拉定理可知
(當a與25互質時),即
(當a為任意整數時)。因此
為25的倍數。
- 因此
為132與25的的最小公倍數的倍數,即3300的倍數。
费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果
,那么
![{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e818f3f88d3e71e569f171dd86f31e1903fdc55)
这里
是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于
的正整数中与
互質的数的个数。假如
是一个素数,则
,即费马小定理。
- 证明
上面证明费马小定理的群论方法,可以同理地证明欧拉定理。
考虑所有与
互素的数,这些数模
的余数所构成的集合,记为
,并将群乘法定义为相乘后模
的同余。显然
是一个群,因为它对群乘法封闭(若
和
则
),含幺元(即“1”),且任何一个元素
的逆元素也在集合中(因为若
则由群乘法封闭性任何
的幂次都在
中,所以
是
这个有限集的子集)。根据定义,
的阶是
,于是根据拉格朗日定理,
中任何一个元素的阶必整除
。证毕。
卡邁克爾函數比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。
![{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e475506bcb72caae57599e0ccafa7efe023be9c)
因為
所以由
的結果可以得出
的結果
用多項式除法可以得出
除以
的次數少於
的餘式
例如
,由多項式除法得到
,則
這個餘式的一般結果是:
(除式)
n=0时为除式,用数学归纳法证明余式。[6]
- 求
![{\displaystyle x^{1000}{\pmod {5^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44c3e08ec5f102bad983edfb5da19d1de7c527a)
- ^ Fermat's Little Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆).WolframMathWorld.(英文)
- ^ A proof of certain theorems regarding prime numbers. [2012-12-11]. (原始内容存档于2015-06-16).
- ^ 3.0 3.1 許介彥. 費馬小定理 (PDF). 科學教育月刊 (私立大葉大學電機工程學系). 2006年10月, (第293期): 37–44 [2015-04-18]. (原始内容 (PDF)存档于2015-04-18).
- ^ How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27 [2021-04-26]. (原始内容存档于2022-03-25) (英语).
- ^ 聂灵沼; 丁石孙. 代数学引论 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2000: 第33页. ISBN 7-04-008893-2.
- ^ 黄嘉威. 多项式除法解高次同余. 数学学习与研究. 2015, (9): 第104页 [2015-07-19]. (原始内容存档于2020-10-20).