笛卡尔卵形线：修订间差异
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2019年2月9日 (六) 14:34的版本
在 几何形状， 笛卡尔 卵形线的名字命名的 勒内*笛卡尔，是一个 平面曲线，设定的要点具有相同的 线性组合 的距离从两个固定点。
设P和Q为平面上的不动点，并让 d(P,S) 和 d(Q,S) 代表 欧几里远的距离 从这些点的第三个变量的角 S. 让 m 和 a 是任意的， 真正的数字的。 那么笛卡尔卵形线的 轨迹 分 S 满足 d(P,S) + m d(Q,S) = a的。 两个椭圆形成的四个方程 d(P,S) + m d(Q,S) = ± a 和 d(P,S) − m d(Q,S) = ± a 密切相关的；它们共同形成一个 四次平面曲线 称为笛卡尔卵形线的。[1]
特殊情况
在方程 d(P,S) + m d(Q,S) = a，当 m = 1 和 a > d(P,Q) 得到的形状是一个 椭圆形的。 在 限制的情况下 在其中 P 和 Q 相吻合，椭圆变成了 圆形的。 时 这是一个 limaçon 的帕斯卡尔。 如果 和 本公式给出了一个分支的一个 双曲线 ，并因此不是一个封闭的卵形线。
多项式
- [(1 - m2)(x2 + y2) + 2m2cx + a2 − m2c2]2 = 4a2(x2 + y2),
其中 c 为的距离 两者之间固定灶 P = (0, 0) 和 Q = (c, 0)，形成两个椭圆形，该集点令人满意的两个方程式
- d(P,S) ± m d(Q,S) = a,
- d(P,S) ± m d(Q,S) = −a[2]
有真正的解决方案。 两个椭圆形通常是断续的，除了在的情况， P 或 Q 属于他们。 至少两个垂线以 PQ 通过点的 P 和 Q 削减这四次曲线中的四个实点；因此，他们一定是嵌套，至少有两个点的 P 和 Q 包含在内。[2] 对于一个不同的参数化并得到四次。
应用在光学，
如笛卡尔发现，笛卡尔椭圆形可以使用 透镜 的设计。 通过选择的比例远的距离从 P 和 Q 相匹配的比例 正弦 在 斯涅尔定律，并使用 表面的革命 的这些中的一个椭圆形，有可能设计一个所谓的 等光程的镜头，没有 球差的。[3]
此外，如果一个球形的波折射，通过一个球面镜头，或者反映从一个凹球表面，折或反射波面需要形状的笛卡尔椭圆形。 的 苛性碱 形成的球差在这种情况下可能因此被描述为 渐 笛卡尔椭圆形。[4]
历史
在椭圆形的笛卡尔是第一个研究通过勒内*笛卡尔1637年，在连接其应用在光学元件。
这些曲线也进行了研究，通过 牛顿 开始在1664的。 一个方法绘制的某些特定的角椭圆形，已经用于通过笛卡尔，是类似于标准建设一个 椭圆形 通过伸线。 如果一直延伸线从一个销在一个焦点，围绕着一个针，在第二个重点，并联系的自由端的程笔，采取的路径笔，当线绷紧，形成一个直角椭圆2:1的比率之间的距离的两个焦点。[5] 但是，牛顿拒绝了这样的结构作不够严谨。[6] 他定义了椭圆形作为解决一个 微分方程，建造其子法线，并再次调查它的光学性能。[7]
法国数学家 米歇尔夏斯莱发现，在19世纪，如果笛卡尔是椭圆形的定义由两点 P 和 Q，再有就是在一般的第三点 R 对同样行使同样的椭圆形的也是限定的任何对这三点。[2]
詹姆斯*马克斯韦尔 重新发现了这些曲线，普遍他们的曲线定义保持恒定的加权总和的距离从三个或更多的焦点，并写了一份题为 意见的限制的数字具有多个病灶和半径的各种比例的。 一个考虑到他的结果，标题 的说明椭圆曲线，以及那些具有多个重点，是由 J.D.《福布斯》 ，并提交给了 皇家协会，爱丁堡 ，在1846年，当麦克斯韦是在年轻的年龄为14(几乎15).[5][8][9]
也参看
参考文献
- ^ 1.0 1.1 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, 笛卡尔卵形线, MacTutor数学史档案 （英语）
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Rice, John Minot; Johnson, William Woolsey, An elementary treatise on the differential calculus founded on the method of rates or fluxions 4th, J. Wiley: 295–299, 1888.
- ^ Dijksterhuis, Fokko Jan, Lenses and waves: Christiaan Huygens and the mathematical science of optics in the seventeenth century, Archimedes, New studies in the history and philosophy of science and technology 9, Springer-Verlag: 13–14, 2004, ISBN 978-1-4020-2697-3.
- ^ Percival, Archibald Stanley, Chapter XVI. Contour of the refracted wave-front. Caustics, Optics, a manual for students, Macmillan: 312–327, 1899.
- ^ 5.0 5.1 Gardner, Martin, The Last Recreations: Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications, Springer-Verlag: 46–49, 2007, ISBN 978-0-387-25827-0.
- ^ Guicciardini, Niccolò, Isaac Newton on mathematical certainty and method, Transformations: Studies in the History of Science and Technology 4, MIT Press: 49 & 104, 2009, ISBN 978-0-262-01317-8.
- ^ Whiteside, Derek Thomas, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 3, Cambridge University Press: 139, 495, & 551, 2008, ISBN 978-0-521-04581-0.
- ^ 科学信件和文件的詹姆斯*麦克斯韦，编P.M.哈曼，第一卷，1846-1862，剑桥大学出版社，pg。 35
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