不交并

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集合论中,不交并(或区别并集)是一组集合并集,它们的元素两两不交

形式化地讲,若C为一组集合,则

\bigcup_{A \in C} A

是無交并当且仅当对于所有C中的AB

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

术语無交并也用于指并操作的一种修改了的形式,它将每个元素根据它原来来自哪个集合打上一个下标来区分,这样就保证了结果为上述意义的無交并。这使我们能够对一组并非不交的集合取無交并。

形式化地讲,令{Ai : iI}为一I为下标的集合。该族的無交并为如下集合

\coprod_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}

该無交并的元素是有序对 (x, i)。这里i是一个附加的下标,代表元素x来自哪个Ai。每个集合Ai有一个到無交并集的标准嵌入

A_i^* = \{(x,i) : x \in A_i\}

对于ij,集合Ai*和Aj*是不交的,即使集合AiAj是相交的。

考虑极端情况:对于所有iIAi等于某个固定的集合A。这个情况下,可以证明该族的無交并就是AI卡积(杯積):

\coprod_{i\in I}A_i = A \times I.

有时可以见到如下记法

\sum_{i\in I}A_i

表示一个集合族的無交并,或者A + B表示两个集合的無交并。这个记法本意是暗示無交并的基数是该族的基数之。这可以与集合族的卡积的记法进行比较。

范畴论的语言中無交并是集合范畴上积,因此它满足相应的泛性质。这也意味着不交并是笛卡尔积对偶

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