共尾

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數學裡,共尾子集是一個预序集合 A 的子集 B,使得任一在 A 內的元素 a,總有一在 B 內的元素 b 會有 a ≤ bB 因此被稱為共尾於 A。相對地,共首子集則是一预序集合 A 的子集 B,使得任一在 A 內的元素 a,總有一在 B 內的元素 b 會有 a ≥ b。通常这个预序集合要么是偏序集合要么是有向集合

一個共尾函數則指一函數 fX → A,其中 A 為预序陪域,其值域 f(X) 共尾於此一陪域。一個共尾序列是指一由 A 的元素組成的序列,其元素共尾於 A。一個共尾網指一由 A 的元素組成的,其元素共尾於 A

關於共尾子集的勢,請見共尾性

性質[编辑]

任一偏序集合均共尾於其自身。若 B 是偏序集合 A 的一共尾子集且 CB 的共尾子集,其中 A 的偏序關係限定至 B,則 C 也會是 A 的共尾子集。對一有極大元的偏序集合,每一共尾子集都必須含有所有的極大元。對一有最大元的偏序集合,每一共尾子集都必須含有其最大的元素。沒有最大元或極大元的偏序集合存在有分隔的共尾子集。例如,偶數和奇數自然數形成自然數集合的分隔共尾子集。

若一偏序集合 A 存在一全序共尾子集,則可以找到一良序且共尾於 A 的子集 B

子集的共尾集合[编辑]

一特別但重要的例子,若 A 是一某一集合 E冪集 P(E) 的子集,以顛倒的包含(⊃)排序。給定 A 的这种排序,A 的子集 B 是共尾於 A 的,若每一 a ∈ A,總存在一 b ∈ B 使得 a ⊃ b

舉例來說,若 E 是一個群,A 可以是有限索引正规子群所組成的集合。然後,A 的共尾子集可以被用來定義這個群的柯西序列完備性

另見[编辑]

參考[编辑]

  • Lang, Serge. Algebra (3rd ed., reprint w/ corr.). Addison-Wesley. 1997. ISBN 0-201-55540-9.