有向集合

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数学中,有向集合(也叫有向预序过滤集合),是一个具有预序关系自反传递二元关系 ≤)的非空集合 A,而且每一對元素都會有個上界[1],亦即对于 A 中任意两个元素 ab,存在着 A 中的一个元素 c(不必然不同于 a,b),使得 acbc(有向性)。

有向集合是非空全序集合的廣義化,亦即所有的全序集合都會是有向集合(偏序集合則不一定是有向的)。在拓撲學裡,有向集合被用來定義,一種廣義化序列且統合用於數學分析中各式極限的概念。有向集合亦在抽象代數及(更一般的)範疇論中被用來產生有向極限這類的概念。

应用[编辑]

有向集合是非空全序集合的一般化。在拓扑中它们用来定义一般化序列,并联合在数学分析中用到的各种极限的概念。

例子[编辑]

有向集合的例子有:

  • 带有普通次序 ≤ 的自然数的集合 N 是一个有向集合(也是全序集合)。
  • 如果 x0实数,我们可以把 R - {x0} 集合变成有向集合,通过写 ab 当且仅当 |a - x0| ≥ |b - x0|。我们说实数已经被导向了 x0。这不是偏序。
  • 如果 T 是一个拓扑空间x0T 中的一个点,我们可以把 x0 的所有邻域的集合变成有向集合,通过写 UV 当且仅当 U 包含 V
    • 对于所有 U: UU;因为 U 包含自身。
    • 对于所有 U,V,W:如果 UVVW,则 UW;因为如果 U 包含 VV 包含 WU 包含 W
    • 对于所有 U, V:存在着集合 U \capV 使得 UU \capV 并且 VU \capV;因为 UV 二者都包含 U \capV
  • 偏序集合 P 中,所有形如 {a| a\inP, ax} 的子集都是有向的,这里 xP 的一个固定的元素。

对比于半格[编辑]

有向集合是比(并)半格更弱的(更一般的)概念:所有并半格都是有向集合,两个元素的就是想要的 c

但是有向集合不要求极小性:可以有很多其他这样的 c

有向子集[编辑]

有向集合不需要是反对称的,并且一般不是偏序的。但是这个术语也经常用在偏序集合的上下文中。在这种情况下,偏序集合(P,≤)的子集 A 叫做有向子集当且仅当

  • A 不是空集
  • 对于 A 中任何两个 ab,存在 A 中的一个 c 有着 acbc(有向性),

这里 A 的元素的次序继承自 P。为此,自反性和传递性不需要明确的要求。

有向子集最常用于域理论,这里研究要求有最小上界的那些集合。所以,有向子集提供在偏序情况下一般化的(收敛)序列。

参见[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Kelley, p. 65.