预序关系

预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义

考虑集合 P 及其上的二元关系 $\lesssim$。若 $\lesssim$ 具有自反性和传递性，则称 $\lesssim$ 为预序。具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立：

a $\lesssim$ a (自反性)

若 a $\lesssim$ b 且 b $\lesssim$ c，则 a $\lesssim$ c (传递性)

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性（若 a $\lesssim$ b 且 b $\lesssim$ a，则 a = b）的预序为偏序。

说明

作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序

将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 X 上的等价关系 $\sim \,$，使得 a $\sim \,$ b 当且仅当 a $\lesssim$ b 且 b $\lesssim$ a。定义所得商集 $X/\sim \,$（所有 $\sim \,$ 的等价类构成的集合）上的序关系 $\le$ ，使得[x] $\le$ [y] 当且仅当 x $\lesssim$ y。由 $\sim \,$ 的构造可知，$\le$ 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例

• 拓扑中网络收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
• The embedding relation for countable total orderings.
• 图论中的graph-minor关系。
• Preference, according to common models.

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 全序关系
• 等价关系
• 有向集合
• 预序范畴
• 预良序

參考文獻

• Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser. 2002, ISBN 0-8176-4128-9