预序关系

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预序关系(简称预序,又称先序preorder)、在数学中,是一类接近于偏序关系的二元关系,但仅满足自反性传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义[编辑]

考虑集合 P 及其上的二元关系 \lesssim。若 \lesssim 具有自反性传递性,则称 \lesssim预序。具体来说,对任意 P 的元素 abc,下列性质成立:

a \lesssim a (自反性)
a \lesssim bb \lesssim c,则 a \lesssim c (传递性)

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性(若 a \lesssim bb \lesssim a,则 a = b)的预序为偏序

说明[编辑]

作为特例,空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序[编辑]

将预序集的等价元素等同起来,可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下:定义预序集 X 上的等价关系 \sim \,,使得 a \sim \, b 当且仅当 a \lesssim bb \lesssim a。定义所得商集 X/\sim \,(所有 \sim \,等价类构成的集合)上的序关系 \le ,使得[x] \le [y] 当且仅当 x \lesssim y。由 \sim \, 的构造可知,\le 的定义与所选等价类的代表元素无关,故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例[编辑]

  • 拓扑网络收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
  • The embedding relation for countable total orderings.
  • 图论中的graph-minor关系。
  • Preference, according to common models.

参见[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser. 2002, ISBN 0-8176-4128-9