普兰特数

普兰特数 $\mathrm{Pr}$ 是一個流體力學無因次的純量，以德国力学家路德维希·普朗特的名字命名，表示動黏滯係數和熱擴散率的比例，也可以視為動量傳遞及熱量傳遞效果的比例。

普兰特数的定義如下:

$\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}$

其中:

• $\nu$ : 動黏滯係數(viscous diffusion rate), $\nu = \mu/\rho$, (SI制單位 : m²/s)
• $\alpha$ : 熱擴散率(thermal diffusion rate), $\alpha = k/(\rho c_p)$, (SI制單位 : m²/s)
• $\mu$ : 黏滯係數 (SI制單位 : Pa s)
• k : 熱傳導率 (SI制單位 : W/(m K) )
• c_p : 比熱容 (SI制單位 : J/(kg K) )
• $\rho$ : 密度 (SI制單位 : kg/m³ )

雷諾數或格拉斯霍夫數的公式中有包含一個表示長度的變數，而普兰特数$\mathrm{Pr}$的公式中沒有類似的變數，表示$\mathrm{Pr}$和孔徑、長度或特徵長度等參數無關，只和流體及其狀態有關。在描述物質特性的表中，除了列出黏滯係數及熱傳導係數外，有時也會列出普兰特数$\mathrm{Pr}$。

以下是一些常見物質的$\mathrm{Pr}$:

• 空氣及氣體約 0.7-0.8
• 惰性氣體、氫氣或惰性氣體的混合物約 0.16-0.7
• 水大約是 7
• 地球的地函約是10×10²⁴
• 機油範圍在 100 到 40,000 之間
• R-12冷媒約在 4 到 5 之間
• 水銀約 0.015

對水銀而言，由於熱擴散率遠大於動黏滯係數，熱量主要會以傳導的方式傳遞，以熱傳導的方式傳播熱量會比對流有效。對於機油則恰好相反，動黏滯係數遠大於熱擴散率，熱量主要會以對流的方式傳遞，以對流的方式傳播熱量會比熱傳導有效。

在熱量傳播的應用中，$\mathrm{Pr}$控制動量邊界層及熱邊界層的相對厚度。Pr小表示熱擴散速率會比速度(動量)擴散速率要快。因此液態金屬（如水銀）的熱邊界層厚度會比速度邊界層大很多。

質量傳播也有類似普兰特数的無因次量，稱為施密特數$\mathrm{Sc}$。

參見

• 施密特數

參考資料

• Viscous Fluid Flow, F. M. White, McGraw-Hill, 3rd. Ed, 2006
• Effects of Prandtl number and a new instability mode in a plane thermal plume. R. Lakkaraju, M Alam. Journal of Fluid Mechanics, vol. 592, 221-231 (2007)

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