雷诺数

流体力学中，雷诺数是流体惯性力$\frac{\rho v^2}{L}$与黏性力$\frac{\mu v}{L^2}$比值的量度，它是一个無因次化的量。

雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。

定义

对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。这个尺寸一般是根据习惯定义的。比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。对于表面流动，通常使用长度。

管内流场

对于在管内的流动,雷诺数定义为:

$\mathrm{Re} = {{\rho {\bold \mathrm V} D} \over {\mu}} = {{{\bold \mathrm V} D} \over {\nu}} = {{{\bold \mathrm Q} D} \over {\nu}A}$

式中:

• ${\bold \mathrm V}$ 是平均流速 (国际单位: m/s)
• ${D}$ 管直径(一般為特徵長度) (m)
• ${\mu}$ 流体动力黏度 (Pa·s或N·s/m²)
• ${\nu}$ 运动黏度 ($\nu = \mu /$ρ) (m²/s)
• ${\rho}$ 流体密度(kg/m³)
• ${Q}$ 体积流量 (m³/s)
• ${A}$ 横截面积(m²)

假如雷諾數的體積流率固定，則雷諾數與密度（ρ）、速度的开方（$\sqrt{u}$）成正比；與管徑（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比

假如雷諾數的質量流率（即是可以穩定流動）固定，則雷諾數與管徑（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；與√速度（$\sqrt{u}$）成正比；與密度（ρ）無關

平板流

对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离。

流体中的物体

对于流体中的物体的雷诺数,经常用Re_p表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。

流体中的球

对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=0.1或者以下。 在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。

搅拌槽

对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径。速度是ND,N是转速(周/秒)。雷诺数表达为:

$\mathrm{Re} = {{\rho N D^2} \over {\mu}}.$

当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。

过渡流雷诺数

对于流过平板的边界层，实验可以确认，当流过一定长度后,层流变得不稳定形成湍流。对于不同的尺度和不同的流体，这种不稳定性都会发生。一般来说，当$\mathrm{Re}_x \approx 5 \times 10^5$, 这里x是从平板的前边缘开始的距离,流速是边界层以外的自由流场速度。

一般管道流雷诺数＜2100为层流(又可稱作黏滯流動、線流)状态，大于4000为湍流(又可稱作紊流、擾流)状态，2100～4000为过渡流状态。

層流：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。

湍流：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。

管道中的摩擦阻力

穆迪圖說明達西摩擦因子f和雷诺数和相對粗糙度的關係

在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆迪圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子f和雷诺数${\mathrm{Re}}$及相對粗糙度$\epsilon / D$的關係，圖中隨著雷诺数的增加，管流由層流變為过渡流及湍流，管流的特性和流體為层流、过渡流或湍流有明顯關係。

流动相似性

两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立:

$\mathrm{Re}_m = \mathrm{Re} \;$

$\mathrm{Eu}_m = \mathrm{Eu} \; \quad\quad \mbox{i.e.} \quad {p_m \over \varrho_m {v_m}^{2}} = {p\over \varrho v^{2}} \; ,$

带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。 这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福祿數。

雷诺数的一般值

• 精子 ~ 1×10⁻⁴
• 大脑中的血液流 ～1×10²
• 主动脉中的血流 ~ 1×10³

湍流临界值 ~ 2.3×10³-5.0×10⁴(对于管内流)到 10⁶(边界层)

• 棒球(职业棒球投手投掷) ~ 2×10⁵
• 游泳(人) ~ 4×10⁶
• 蓝鲸 ~ 3×10⁸
• 大型邮轮 ~ 5×10⁹

雷诺数的推导

雷诺数可以从無因次化的非可压納維－斯托克斯方程推导得来:

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.$

上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:

$\frac{D}{\rho V^2}$

这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:

$\mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},\ p' = p\frac{1}{\rho V^2}, \ \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{D}{\rho V^2}, \ \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t}, \ \nabla' = D \nabla$

无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:

$\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}$

这里:$\frac{\mu}{\rho D V} = \frac{1}{\mathit{Re}}.$

最后,为了阅读方便把撇去掉:

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{\mathit{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.$

这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。

参见

• 磁雷诺数