雷諾數

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流體力學中,雷諾數(Reynolds number)是流體慣性\frac{\rho v^2}{L}黏性\frac{\mu v}{L^2}比值的量度,它是一個無量綱量

雷諾數較小時,黏滯力對流場的影響大於慣性力,流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減,流體流動穩定,為層流;反之,若雷諾數較大時,慣性力對流場的影響大於黏滯力,流體流動較不穩定,流速的微小變化容易發展、增強,形成紊亂、不規則的紊流流場。

定義[編輯]

對於不同的流場,雷諾數可以有很多表達方式。這些表達方式一般都包括流體性質(密度黏度)再加上流體速度和一個特徵長度或者特徵尺寸。這個尺寸一般是根據習慣定義的。比如說半徑和直徑對於球型和圓形並沒有本質不同,但是習慣上只用其中一個。對於管內流動和在流場中的球體,通常使用直徑作為特徵尺寸。對於表面流動,通常使用長度。

管內流場[編輯]

對於在管內的流動,雷諾數定義為:

 \mathrm{Re} = {{\rho {\bold \mathrm V} D} \over {\mu}} = {{{\bold \mathrm V} D} \over {\nu}} = {{{\bold \mathrm Q} D} \over {\nu}A}

式中:

假如雷諾數的體積流速固定,則雷諾數與密度(ρ)、速度的開方(\sqrt{u})成正比;與管徑(D)和黏度(u)成反比

假如雷諾數的質量流速(即是可以穩定流動)固定,則雷諾數與管徑(D)、黏度(u)成反比;與√速度(\sqrt{u})成正比;與密度(ρ)無關

平板流[編輯]

對於在兩個寬板(板寬遠大於兩板之間距離)之間的流動,特徵長度為兩倍的兩板之間距離。

流體中的物體[編輯]

對於流體中的物體的雷諾數,經常用Rep表示。用雷諾數可以研究物體周圍的流動情況,是否有漩渦分離,還可以研究沉降速度。

流體中的球[編輯]

對於在流體中的球,特徵長度就是這個球的直徑,特徵速度是這個球相對於遠處流體的速度,密度和黏度都是流體的性質。在這種情況下,層流只存在於Re=0.1或者以下。 在小雷諾數情況下,力和運動速度的關係遵從斯托克斯定律

攪拌槽[編輯]

對於一個圓柱形的攪拌槽,中間有一個旋轉的槳或者渦輪,特徵長度是這個旋轉物體的直徑。速度是ND,N是轉速(周/秒)。雷諾數表達為:

 \mathrm{Re} = {{\rho N D^2} \over {\mu}}.

當Re>10,000時,這個系統為完全湍流狀態。[1]

過渡流雷諾數[編輯]

對於流過平板的邊界層,實驗可以確認,當流過一定長度後,層流變得不穩定形成湍流。對於不同的尺度和不同的流體,這種不穩定性都會發生。一般來說,當\mathrm{Re}_x \approx 5 \times 10^5, 這裡x是從平板的前邊緣開始的距離,流速是邊界層以外的自由流場速度。

一般管道流雷諾數<2100為層流(又可稱作黏滯流動、線流)狀態,大於4000為湍流(又可稱作紊流、擾流)狀態,2100~4000為過渡流狀態。

層流:流體沿著管軸以平行方向流動,因為流體很平穩,所以可看作層層相疊,各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀,面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動,所以流動摩擦損失較小。

湍流:此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞,非直線流動而是漩渦狀,流動摩擦損失較大。

管道中的摩擦阻力[編輯]

穆迪圖說明達西摩擦因子f和雷諾數和相對粗糙度的關係

在管道中完全成形(fully developed)流體的壓降可以用穆迪圖來說明,穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下,達西摩擦因子f和雷諾數{\mathrm{Re}}及相對粗糙度\epsilon / D的關係,圖中隨著雷諾數的增加,管流由層流變為過渡流及湍流,管流的特性和流體為層流、過渡流或湍流有明顯關係。

流動相似性[編輯]

兩個流動如果相似的話,他們必須有相同的幾何形狀和相同的雷諾數和歐拉數。當在模型和真實的流動之間比較兩個流體中相應的一點,如下關係式成立:

 \mathrm{Re}_m = \mathrm{Re} \;
 \mathrm{Eu}_m = \mathrm{Eu} \;   \quad\quad     \mbox{i.e.}   \quad  {p_m \over \varrho_m {v_m}^{2}} = {p\over \varrho v^{2}} \; ,

帶m下標的表示模型里的量,其他的表示實際流動里的量。 這樣工程師們就可以用縮小尺寸的水槽或者風洞來進行試驗,與數值模擬的模型比對數據分析,節約試驗成本和時間。實際應用中也許會需要其他的無量綱量與模型一致,比如說馬赫數福祿數

雷諾數的一般值

湍流臨界值~ 2.3×103-5.0×104(對於管內流)到106(邊界層)

雷諾數的推導[編輯]

雷諾數可以從無量綱的非可壓納維-斯托克斯方程推導得來:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.

上式中每一項的單位都是加速度乘以密度。無量綱化上式,需要把方程變成一個獨立於物理單位的方程。我們可以把上式乘以係數:

\frac{D}{\rho V^2}

這裡的字母跟在雷諾數定義中使用的是一樣的。我們設:

 \mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},\ p' = p\frac{1}{\rho V^2}, \ \mathbf{f'} = \mathbf{f}\frac{D}{\rho V^2}, \ \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t}, \ \nabla' = D \nabla

無量綱的納維-斯托克斯方程可以寫為:

\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'} + \mathbf{f'}

這裡:\frac{\mu}{\rho D V} = \frac{1}{\mathit{Re}}.

最後,為了閱讀方便把撇去掉:

\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{\mathit{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.

這就是為什麼在數學上所有的具有相同雷諾數的流場是相似的。

參見[編輯]


參考文獻[編輯]

  • 朱佳仁. 環境流體力學. 科技圖書公司. 2003. ISBN 9576553636. 
  1. ^ R. K. Sinnott Coulson & Richardson's Chemical Engineering, Volume 6: Chemical Engineering Design, 4th ed (Butterworth-Heinemann) ISBN 0-7506-6538-6 page 473