简单函数

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实分析领域中,简单函数是只取得有限个值的实函数。有些作者还要求简单函数是可测的;实际上它们一定是可测的。

一个简单函数的基本例子,是半开区间[1,9)上的取整函数,它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。一个更加高级的例子是实直线上的狄利克雷函数,如果x是有理数,则函数的值为1,否则为0。

定义[编辑]

正式地,一个简单函数是可测集合指示函数的有限线性组合。更加精确地,设(X, Σ)为可测空间。设A1,……,An ∈ Σ为可测集合的序列,并设a1,……,an实数复数数列。简单函数是以下形式的函数:

f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf I}_{A_k}(x).

性质[编辑]

根据定义,两个简单函数的和、差与积,以及一个简单函数与常数的积也是简单函数,因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中,以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数f\colon X \to\mathbb{R}^{+}都是非负简单函数的单调增加序列的逐点极限。确实,设f为定义在测度空间(\Omega, {\mathcal F},\mu)上的非负可测函数。对于每一个n\in\mathbb N,我们把f的值域分成2^{2n}+1个长度为2^{-n}的区间。我们设I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right)对于k=1,2,\ldots,2^{2n}以及I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty]。我们定义可测集合A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k}),对于k=1,2,\ldots,2^{2n}+1。那么,简单函数的单调增加序列f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf I}_{A_{n,k}}n\to\infty时逐点收敛于f

注意如果f是有界的,则序列是一致收敛的。

简单函数的积分[编辑]

如果一个测度μ定义在空间(X,Σ)上,则f关于μ的勒贝格积分是:

\sum_{k=1}^na_k\mu(A_k),

如果所有的加数都是有限的。

参考文献[编辑]

  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.