简单函数

在实分析领域中，简单函数是只取得有限个值的实函数。有些作者还要求简单函数是可测的；实际上它们一定是可测的。

一个简单函数的基本例子，是半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。一个更加高级的例子是实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

定义

正式地，一个简单函数是可测集合的指示函数的有限线性组合。更加精确地，设(X, Σ)为可测空间。设A₁，……，A_n ∈ Σ为可测集合的序列，并设a₁，……，a_n为实数或复数数列。简单函数是以下形式的函数：

$f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf I}_{A_k}(x).$

性质

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中，以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数$f\colon X \to\mathbb{R}^{+}$都是非负简单函数的单调增加序列的逐点极限。确实，设$f$为定义在测度空间$(\Omega, {\mathcal F},\mu)$上的非负可测函数。对于每一个$n\in\mathbb N$，我们把$f$的值域分成$2^{2n}+1$个长度为$2^{-n}$的区间。我们设$I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right)$对于$k=1,2,\ldots,2^{2n}$以及$I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty]$。我们定义可测集合$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})$，对于$k=1,2,\ldots,2^{2n}+1$。那么，简单函数的单调增加序列$f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf I}_{A_{n,k}}$ 当$n\to\infty$时逐点收敛于$f$。

注意如果$f$是有界的，则序列是一致收敛的。

简单函数的积分

如果一个测度μ定义在空间(X,Σ)上，则f关于μ的勒贝格积分是：

$\sum_{k=1}^na_k\mu(A_k),$

如果所有的加数都是有限的。

参考文献

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.