非交换概率空间

在数学的分支概率论和算子代数中，非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间，其定义为一个有单位元的代数 ${\mathcal {A}}$ ，其上配备有一个保单位元的线性泛函 $\phi$ 。 ${\mathcal {A}}$ 中元素可视为是非交换版本的随机变量，而 $\phi$ 则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的，代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强，从而引出§ 非交换*-概率空间等概念。

非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构，非交换概率论可应用在谱理论、随机矩阵和量子力学中。

动机

随机变量代数与期望

参见：概率空间

测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间 $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ ，即一个总测度为一的（正）测度空间。所谓随机变量即是其上的实值可测函数，而随机变量的期望则是其勒貝格積分。

现在考虑全体本质有界的随机变量，它们构成了一个 $\mathbb {R}$ 上的代数，这里简单记作 $L^{\infty }$ 。在这个代数上，期望映射 $\mathbb {E} :L^{\infty }\to \mathbb {R}$ 是唯一能满足 $\forall X\in \Sigma ,\ \mathbb {E} (1_{X})=\mathbb {P} (X)$ 且给出单调收敛性质的线性映射，其中 $1_{X}$ 表示 $X$ 的指示函数。反过来，若具有单调收敛性质的非负线性映射 $\mathbb {E} :L^{\infty }\to \mathbb {R}$ 满足 $\mathbb {E} (\mathbf {1} )=1$ （其中 $\mathbf {1}$ 是值为一的常函数，即 $L^{\infty }$ 上的乘法单位元），则可用 $\forall X\in \Sigma ,\ \mathbb {E} (1_{X})=\mathbb {P} (X)$ 一式唯一地定义一个概率测度。在这个意义上，随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助单调类定理，还可建立在单调收敛下封闭的 $\Omega$ 上的有界函数代数与 $L^{\infty }$ 的一一对应。

对事件空间地位的降低，以及对代数性质的强调，使得概率论可以有较明显的推广方案，来兼容非交换的随机变量。

量子概率与*-代数

参见：可觀察量和*-代数

分析性质

参见：C*-代数和冯诺依曼代数

定义

非交换概率空间

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一代数非交换概率空间，若 ${\mathcal {A}}$ 是 $\mathbb {C}$ 上的一个有单位元 $1_{\mathcal {A}}$ 的代数， $\phi :{\mathcal {A}}\to \mathbb {C}$ 是 ${\mathcal {A}}$ 上一个满足 $\phi (1_{\mathcal {A}})=1$ 的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况。

非交换*-概率空间

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一非交换*-概率空间，若 $({\mathcal {A}},\phi )$ 是一个代数非交换概率空间，且满足：

• ${\mathcal {A}}$ 是一个*-代数；
• $\phi$ 是一个正映射，也就是说 ${\mathcal {A}}$ 中的正元总是被映为非负实数，或者等价地说
  $$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \phi (a^{*}a)\geq 0.$$
  这个条件结合 $\phi (1_{\mathcal {A}})=1$ 意味着 $\phi$ 是一个态。

非交换C*-概率空间

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一非交换C*-概率空间，若 $({\mathcal {A}},\phi )$ 是一个非交换*-概率空间，且满足：

• ${\mathcal {A}}$ 是一个C*-代数；
• 态 $\phi$ 是非退化的，也就是说 $\|a\|_{\infty }=0\implies a=0.$

上面的 $\|\cdot \|_{\infty }$ 是一个 $\phi$ 诱导的半范数，定义为

$$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \|a\|_{\infty }=\sup\{\|ax\|_{2}|x\in {\mathcal {A}}\land \|x\|_{2}\leq 1\},$$

形式上它类似于左乘映射 $x\mapsto ax$ 的算子范数。一些作者不要求 $\phi$ 为非退化的，因为总是可商去满足 $\|a\|_{\infty }=0$ 的元素所构成的*-理想使其成为非退化的。

非交换W*-概率空间

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一非交换W*-概率空间，若 $({\mathcal {A}},\phi )$ 是一个非交换C*-概率空间，且满足：

• ${\mathcal {A}}$ 是一个W*-代数；
• 态 $\phi$ 是正规的。或者等价地说， $\phi$ 是超弱连续的。

值得一提的是，即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求，如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。