截面曲率

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黎曼几何中,截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率K(\sigma_p) 依赖于p点的切空间裡的一个二维平面 \sigma_p 。它就定义为该截面,考慮在 p 点以平面 \sigma_p 作为切平面的曲面 {\textstyle S_p},這曲面是收集流形中某包含 p 的鄰域內從 p 点出發的測地線且這測地線在 p 點的切向量屬於截面 \sigma_p (換句話說就是 {\textstyle S_p=\exp_p U} 其中 {\textstyle U\subseteq \sigma_p}{\textstyle \sigma_p} 里包含原點的鄰域)而截面曲率 K(\sigma_p) 就是曲面 S_pp 點的高斯曲率。形式上,截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量,是非常有用的几何概念。

定义[编辑]

M 为黎曼流形,σ 为 Mp 点处切空间中的二维平面,uv 为 σ 中两个线性无关的向量。 则关于 σ 的截面曲率定义为

K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over |u|^2 |v|^2-\langle u,v\rangle^2}

其中 RM黎曼曲率张量

常截面曲率流形[编辑]

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量,它们有三种情况

三类几何的模型流形分别是双曲空间欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形,所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

性质[编辑]

  • 完备黎曼空间有非负的截面曲率,当且仅当函数f_p(x)=dist^2(p,x)对于所有点p是一个1-函数。
  • 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率,当且仅当函数f_p(x)=dist^2(p,x)是1-函数。

参看[编辑]