狄利克雷η函数

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复平面上的狄利克雷η函数  \eta(s) 。用颜色来编码点  s 的值 \eta(s) ,强烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的辐角

数学解析数论领域,狄利克雷η函数定义为:

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

其中 ζ 是黎曼ζ函數。但是,η函数也用常来定义黎曼ζ函數。 对实部为正数复数s,也可定义为狄利克雷级数表达式形式:

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数,该表达式是一个阿贝尔和,可定义为一个整函数,并由此可知ζ函數是一个极点s = 1的单极点亚纯函数

等价定义为:

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^s}{\exp(x)+1}\frac{dx}{x}

定义在复平面上实部为正的区域,该定义形式是一个Mellin变换

G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明:

\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1).

因此能将其扩展到整个复数域。

数值算法[编辑]

大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单,合理的方法是应用交错序列的欧拉变换,得到:

\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} 
\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.

注意第二个求和里面是前向差分。

Borwein方法[编辑]

彼得·波温(Peter Borwein)使用包含切比雪夫多项式的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果:

d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}

则:

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),

\Re(s) \ge \frac{1}{2} 时,误差项 γn范围:

|\gamma_n(s)| \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|\Im(s)|)\exp(\frac{\pi}{2}|\Im(s)|).

误差分布中的系数3+\sqrt{8}\approx 5.8显示Borwein级数随着n的增加而很快集中于一点。

特殊值[编辑]

  • η(0) = 12, 格兰迪级数( 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)的阿贝尔和。
  • η(−1) = 14, 1-2+3-4+…的阿贝尔和。
  • 对于大于1的整数k ,如果Bk是第k伯努利数,那么
    \eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.

同样的:

 \!\ \eta(1) = \ln2 , 这是交互调和级数
\eta(2) = {\pi^2 \over 12}
\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720}
\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240}
\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600}
\eta(10) = {{511\pi^{10}} \over 6842880}
\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}}

自变量为正偶数的函数生成式为:

\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}}.

参考资料[编辑]