狄利克雷η函数

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复平面上的狄利克雷η函数 。用颜色来编码点 的值 ,强烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的辐角

数学解析数论领域,狄利克雷η函数定义为:

其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函数也用常来定义黎曼ζ函數。 对实部为正数复数s,也可定义为狄利克雷级数表达式形式:

表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数,该表达式是一个阿贝尔和,可定义为一个整函数,并由此可知ζ函數是一个极点s = 1的单极点亚纯函数

等价定义为:

定义在复平面上实部为正的区域,该定义形式是一个Mellin变换

G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明:

因此能将其扩展到整个复数域。

数值算法[编辑]

大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单,合理的方法是应用交错序列的欧拉变换,得到:

注意第二个求和里面是前向差分。

Borwein方法[编辑]

彼得·波温(Peter Borwein)使用包含切比雪夫多项式的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果:

则:

时,误差项 γn范围:

误差分布中的系数显示Borwein级数随着n的增加而很快集中于一点。

特殊值[编辑]

  • η(0) = 12, 格兰迪级数( 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)的阿贝尔和。
  • η(−1) = 14, 1-2+3-4+…的阿贝尔和。
  • 对于大于1的整数k ,如果Bk是第k伯努利数,那么

同样的:

, 这是交互调和级数

自变量为正偶数的函数生成式为:

参考资料[编辑]