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狄利克雷η函數

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複平面上的狄利克雷η函數 。用顏色來編碼點 的值 ,強烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的輻角

數學解析數論領域,狄利克雷η函數定義為:

其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函數也用常來定義黎曼ζ函數。 對實部為正數複數s,也可定義為狄利克雷級數表達式形式:

表達式僅當實部為正數時收斂。對任意複數,該表達式是一個阿貝爾和,可定義為一個整函數,並由此可知ζ函數是一個極點s = 1的單極點亞純函數

等價定義為:

定義在複平面上實部為正的區域,該定義形式是一個Mellin變換

G·H·哈代給出一個函數方程的簡單證明:

因此能將其擴展到整個複數域。

數值算法

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大多數交錯級數的串行加速技術都可應用在η函數的求值上。一個特別簡單,合理的方法是應用交錯序列的歐拉變換,得到:

注意第二個求和裏面是前向差分。

Borwein方法

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彼得·波溫(Peter Borwein)使用包含切比雪夫多項式的近似值用來得到η函數的高效求值方法。

如果:

則:

時,誤差項 γn範圍:

誤差分佈中的係數顯示Borwein級數隨着n的增加而很快集中於一點。

特殊值

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  • η(0) = 12, 格蘭迪級數( 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)的阿貝爾和。
  • η(−1) = 14, 1-2+3-4+…的阿貝爾和。
  • 對於大於1的整數k ,如果Bk是第k伯努利數,那麼

同樣的:

, 這是交錯調和級數

自變量為正偶數的函數生成式為:

參考資料

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