1 − 2 + 3 − 4 + …

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1 − 2 + 3 − 4 + …的前几千项相加结果示意图

数学中,1-2+3-4+…表示以由小到大的逐次正整數,依序加後又減、減後又加,如此反复所構成的無窮級數[1],為一交錯級數。若使用Σ符号表示前m项之和,可写作:

\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}

此无穷级数发散,即其部分和的序列(1, −1, 2, −2, …)不会趋近于任一有穷极限,可等价地认为1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。

不过,在18世纪中期,莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论等式

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.

该等式的严密解释在很久以后才出现。1890年初,恩纳斯托·切萨罗埃米尔·博雷尔与其他一些数学家研究出了定义良好的方法,来求发散级数的广义和[2]——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地赋予1 − 2 + 3 − 4 + …的“和”14切萨罗求和是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法,因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和

级数1 − 2 + 3 − 4 + …格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + …联系紧密。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例(其中n为任意自然数),这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作,同时也引出了我们现在所熟知的狄利克雷η函数黎曼ζ函数

发散性[编辑]

级数项(1, −2, 3, −4, …)没有趋近于0;因此可通过项测试来确定1 − 2 + 3 − 4 + …发散。作为后文的参考,此方法也常被用于从基础级上预见发散。从定义可知,无穷级数的收敛或发散是由其部分和的收敛或发散确定的,1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和为:[3]

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

此部分和序列的一个显著特点是每个整数都出现了一次——如果将空部分和计入还包括0——因此其可数集为整数集\mathbb{Z}[4]很明显的,不可能让变化的结果收斂到一个确定的数,因此1 − 2 + 3 − 4 + …发散。

求和的启发[编辑]

稳定性与线性[编辑]

由于各项 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一种简单模式排列,级数1 − 2 + 3 − 4 + …可表示为它自己的变换形式(概略的说法),而因此所得的方程解取得一数值。暂时假设写作s = 1 − 2 + 3 − 4 + …有意义——其中的s为常数,然后再处理s=\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}的问题:

\begin{smallmatrix}
4s    &=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\quad\,
\\
 \\ \ &=&\!&({ \color{Blue} \,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots})&+\,1\,+&({ \color{Red} \,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots})&+\,1\,+&({ \color{Purple} \,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots})&-\,1\,+&({  \color{OliveGreen}  \,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots})\quad\,
\\
 \\ \ &=&\ 1\,+&(\,(\,{ \color{Blue} 1}\,{ \color{Red} -\,2}\,{ \color{Purple} -\,2}\,{  \color{OliveGreen}  +\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\, \color{Blue} 2}\,{ \color{Red} +\,3}\,{ \color{Purple} +\,3}\,{  \color{OliveGreen}  -\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{ \color{Blue} 3}\,{ \color{Red} -\,4}\,{ \color{Purple} -\,4}\,{\color{OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad&+\ \ \;\;\,&(\,{ \color{Blue} -\,4}\,{ \color{Red} +\,5}\,{ \color{Purple} +\,5}\,{  \color{OliveGreen}  -\,6}\,)\,+\,\cdots)
\\
\\4s  &=&\ 1\,+&(\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots)\ \;\,&=\,1\ \,\;
\end{smallmatrix}

因此,s=\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}[5],如右图所示。

复制4份 1 − 2 + 3 − 4 + …,仅使用移动与项项相加,结果为1。左右两边的两个1 − 2 + 3 − 4 + …副本相互抵消,并得出1 − 1 + 1 − 1 + …

尽管1 − 2 + 3 − 4 + …没有通常意义的和,等式s = 1 − 2 + 3 − 4 + … =\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}却可被赋予另外一种意义。离散级数之“和”的一种普遍定义被称为一种求和法可和法——对所有可能级数的一些子集求和。有许多种不同的方法(部分将在下文中出现),这些方法有着与常数求和所共有的特性。以上的处理实际上都可由下述所证明:给出任意的线形且稳定的可和法,并计算级数1 − 2 + 3 − 4 + …,结果为\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}此外,由于:

\begin{smallmatrix}
2s            &=&  \!&(\,1\,-2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\;\;\; &+\quad\quad\  &(\,1\,-2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\quad\;\;\;\;\;
\\
         \\ \ &=&1\,+&(\,-2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots)\quad\,   &+\,1\,-\,2\,+ &(\,3\,-4\,+\,5\,-\,\cdots)\qquad\ \;\;\;\;\,
\\
         \\ \ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)  &+\quad\quad\  &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots)
\\
\\ \frac{1}{2}&=&  \!& \ \ \   1\,\quad    - \quad 1         &+\quad\quad\  &   \ \;   1\quad  - \quad   1    \quad \cdots
         \end{smallmatrix}

故此方法也一定能对格兰迪级数求和,并得结果为1-1+1-1+ \cdots = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}

柯西乘积[编辑]

1891年,恩纳斯托·切萨罗发表了将发散级数严密地带入微积分学的想法,并指出:“已可写出(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …并断定两边均等于\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}。”[6]对切萨罗而言,这个等式是他前几年发表的一个定理的应用,该定理也许是历史上可求和的发散级数的第一个定理。关于此求和法的详细内容请见下文;其中心思想是1 − 2 + 3 − 4 + …1 − 1 + 1 − 1 + …1 − 1 + 1 − 1 + …柯西乘积

1 − 2 + 3 − 4 + … 以 1 − 1 + 1 − 1 + … 的二重柯西乘积出现

两个无穷级数的柯西乘积可被确定,即使在他们都发散的时候。在 Σan= Σbn= Σ(−1)n 的情况下,柯西乘积的项可由有穷对角线求和的方式给出:

\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
  & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n  = (-1)^n(n+1).
\end{array}

积级数为:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.

这样一种考虑到两个级数的柯西乘积与1-1+1-1+ \cdots = \frac{1}{2} 结果的求和法,也能够求出1-2+3-4+ \cdots = \frac{1}{4} 。由前部分的结果可知,当方法是线形、稳定并考虑到柯西乘积的时候,1 − 1 + 1 − 1 + …1 − 2 + 3 − 4 + …的可求和之间是等价的。

切萨罗的定理是一个深奥的例子。级数1 − 1 + 1 − 1 + …在最弱的意义上是切萨罗可求和,称作(C, 1)-可求和,然而1 − 2 + 3 − 4 + …则需要切萨罗的定理的一个更强的形式[7],表示为(C, 2)-可求和。由于切萨罗的定理的所有形式均为线形且稳定的,所得的值正是此前计算所得的。

特殊方法[编辑]

切萨罗与赫尔德[编辑]

关于14的(H, 2)和的数据

若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切萨罗和存在,要找到其數值就需要计算该级数部分和的算术平均值。 部分和为:

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

这些部分和的算术平均值为:

1, 0,23, 0,35, 0,47, ….

此平均值序列没有收斂,因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 不是切萨罗可求和。

切萨罗求和有两种有名的广义化:让这些在概念上更简单的是(H, n)法的序列,其中n自然数。(H, 1)和为切萨罗求和,更高的方法则重复平均值的计算。在上文中,偶数平均值趋近于12,奇数平均值则全部等于0,所以平均值平均值趋近于 0 与12的平均数,即14[8]因此,1 − 2 + 3 − 4 + …是(H, 2)-可求和为14

符号“H”代表奥图·赫尔德。1882年,他第一次证明了被现在数学家们所看作的在阿贝耳求和与(H, n)求和之间的关系;1 − 2 + 3 − 4 + …是第一个例子。[9]141 − 2 + 3 − 4 + …的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和;这些都将在下文直接予以证明。

另外一个普遍明确的切萨罗求和的广义化,是(C, n)法的序列。已经证明了(C, n)求和与(H, n)求和均能给出相同的结果,但是它们却有不同的历史背景。在1887年,切萨罗已经接近于陈述出(C, n)求和的定义了,但是他只给出了少量的例子。特别的,他在计算1 − 2 + 3 − 4 + …,14时所采用的方法可能是(C, n)的另一种描述,但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, n)法,以陈述他的定理:一个(C, n)-可求和级数与一个(C, m)-可求和级数的柯西乘积是(C, m + n + 1)-可求和。[10]

阿贝耳求和[编辑]

1−2x+3x2+…; 1/(1 + x)2 的一部分;其极限为1

在一份1749年的报告中,莱昂哈德·欧拉承认了级数发散,但准备用任何方式对其求和:

Cquote1.svg
……当该级数1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …的和为14时,那肯定出现了悖论。对该级数的100项相加,我们得到了-50,但是,101项的和却给出+51,这与14是截然不同的,而且这种差距还会随着项数增加而变得更大。不过我在前一段时间已经注意到了,有必要给“和”这个词赋予一个更加广泛的意义……。[11]
Cquote2.svg

欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化。在1 − 2 + 3 − 4 + …,的情况下,他的设想与现在所知的阿贝耳求和相似:

Cquote1.svg
……毫无疑问,级数1 − 2 + 3 − 4 + 5 + …的和为14;由于它是由公式1(1+1)2展开而成,而此公式的值明显为14。在考虑一般级数1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + 后这个概念变得更明晰了。这个一般级数是由表达式1(1+x)2展开而成,当我们让 x = 1 后,这个级数就确确实实地相等了。[12]
Cquote2.svg

在当绝对值 |x| < 1 时,有许多方式去验证欧拉的下列等式正确:

1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.

可以将泰勒展开式的右边拿掉,或使用正规的多项式长除。从左方开始,可采用上文的一般启发式并尝试乘以两次(1+x),或对几何级数1 − x + x2 − …求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求微分[13]

以现代的眼光看,级数 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + … 并没有定义一个在x = 1时的函数,因此其值不能简单地被替换为结果表达式。由于函数被定义为满足所有的|x| < 1,所以仍可取得x趋近于1的极限,而这就是阿贝耳和的定义:

\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.

欧拉与波莱尔[编辑]

1214的欧拉求和

欧拉对该级数还使用了另外一种技巧:欧拉变换,这是他自己的发明。要计算欧拉变换,首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, …。将此序列中的首项标示为 a0

下一步需要1, 2, 3, 4, …前向差分;这恰好是1, 1, 1, 1, …。将该序列的首项标示为 Δa0。欧拉变换也基于差分的差分,以及更高的叠函数,但是1, 1, 1, 1, …的前向差分为0。1 − 2 + 3 − 4 + …的欧拉变换便可定义为:

\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.

用现代术语来说,1 − 2 + 3 − 4 + …欧拉可求和并为14

欧拉可求和也包含有另一种可求和法。将1 − 2 + 3 − 4 + …表示为:

\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1),

就有了相关的处处收敛级数:

a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x).

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波莱尔和为:[14]

\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14.

比例分离[编辑]

赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =14,这两个原理分别是:无穷小松弛(infinitesimal relaxation)与比例分离(separation of scales)。为了表示得精确,他们为这些原理定义了一系列的“φ-求和法”,所有这些方法都可以将级数求和得14

  • 如果φ(x)是一个函数,其一、二阶导数在(0, ∞)上是连续可积分的,这样的话φ(0) = 1 ,并且φ(x)的极限与xφ(x)在+∞时的值均为0,然后:[15]
\lim_{\delta\downarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.

该结果推广了阿贝耳求和,当取φ(x) = exp(−x)时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于m的级数中的项配对,并将表达式变换为黎曼积分的形式予以证明。在后一步中,对1 − 1 + 1 − 1 + …相应证明英语Summation of Grandi's series#Separation of scales运用了中值定理,但在这里需要泰勒公式中更强的拉格朗日形式

广义化[编辑]

1755年的《Institutiones》上,欧拉对相似的级数求和

1 − 1 + 1 − 1 + …的三倍柯西乘积为1 − 3 + 6 − 10 + …,为三角形数的交错级数;其阿贝耳与欧拉和为18[16]1 − 1 + 1 − 1 + …的四倍柯西乘积为1 − 4 + 10 − 20 + …,为四面体数的交错级数,这个的阿贝耳和为116

另一个1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的广义化是级数1 − 2n + 3n − 4n + …,使用了另外的值n。对正整数n来说,此级数有下列的阿贝耳和:[17]

1-2^n+3^n-\cdots = \frac{2 ^ {n+1} - 1}{n + 1} B_{n + 1}

其中Bn伯努利数。对偶数n,则变为:

1 - 2^{2k} + 3^{2k} - \cdots  = 0

后一个和在1826年成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔特别嘲笑的对象:

“发散级数纯粹是魔鬼的工作,胆敢去找到任何证明它们的行为都是羞耻的。如果用到它们,可以从中获得想要的东西;同时也是它们,制造了如此多的不愉快与如此多的悖论。试问能想到比下面内容更令人惊恐的东西吗:
0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.
其中,n为正数。这是一个笑料,朋友。”[18]

切萨罗的老师欧仁·查理·卡塔兰也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下,切萨罗早期提出1 − 2n + 3n − 4n + …的“习用式”是“荒谬的等式”;而在1883年,切萨罗表明了当时的一个典型看法:公式是错的,不过在某些场合在形式上是有用的。最后,在他1890年的书《Sur la multiplication des séries》中,切萨罗使用了一个接近于定义的模型。[19]

此级数亦研究过n为非线性值的情况;这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究1 − 2 + 3 − 4 + …相关级数的部分动机是η函数的泛函方程,这直接导向了黎曼ζ函数的泛函方程。欧拉在正偶整数(包括在巴塞尔问题中)时找到这些函数值的建树已让他闻名世界,他也试图找到正奇整数(包括在阿培里常數中)时的值,但这个问题直到今天都是令人困惑的。η函数通过欧拉的方法解决会更加简单,因为它的狄利克雷级数是处处阿贝耳可求和;η函数的狄利克雷级数非常难以对发散的部分求和。[20]例如,1 − 2 + 3 − 4 + …在η函数中的相似级数是非交错级数1 + 2 + 3 + 4 + …,该级数在现代物理学上有很深的应用,不过需要非常强的方法才能求和。

参见[编辑]

注解[编辑]

  1. ^ 一個有窮或無窮的序列的元素的形式和S就稱為級數
  2. ^ 广义和是指利用一些特殊的方式,計算发散级数的「和」,由於发散级数不會有一般定義下的和,因此稱為广义和。
  3. ^ Hardy p.8
  4. ^ Beals p.23
  5. ^ Hardy (p.6) 结合格兰迪级数1 − 1 + 1 − 1 + …的计算提出了此推导过程。
  6. ^ "One already writes(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …and asserts that both the sides are equal tos=\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}.", Ferraro, p.130.
  7. ^ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
  8. ^ Hardy, p.9. 要了解详细的计算过程,参看 Weidlich, pp.17–18.
  9. ^ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批评了Tucciarone对赫尔德他自己对一般结论的看法的解释(p.7),不过两名作者解释赫尔德处理1 − 2 + 3 − 4 + …的方法是相似的。
  10. ^ Ferraro, pp.123–128.
  11. ^ Euler et al, p.2. 虽然这张纸写于1749年,但直到1768年才发表。
  12. ^ Euler et al, pp.3, 25.
  13. ^ 例如,Lavine (p.23)提倡长除但并没有得出结果;Vretblad (p.231)计算了柯西乘积。欧拉的建议是含糊的;参看Euler et al, pp.3, 26。 约翰·贝兹John Baez)甚至提出一种包括将点集量子谐振子相乘的范畴理论法。Baez, John C. 欧拉对 1 + 2 + 3 + … = 1/12 的证明 (PDF)。 math.ucr.edu (2003年12月19日)。 2007年3月11日检索。
  14. ^ Weidlich p. 59
  15. ^ Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
  16. ^ Kline, p.313.
  17. ^ Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的这一点有误
  18. ^ Grattan-Guinness, p.80. 参看 Markushevich, p.48, 另一个法语转译版本;保留了原有的语调。
  19. ^ Ferraro, pp.120–128.
  20. ^ Euler et al, pp.20–25.

参考书目[编辑]

  • Beals, Richard. Analysis: an introduction. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-60047-2. 
  • Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. 1989.May. ISBN 0-486-65973-9. 
  • Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. 2006 [2007-03-22].  Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 1768, 17: 83–106. 
  • Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. 1999.June, 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. 
  • Grattan-Guinness, Ivor. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. 1970. ISBN 0-262-07034-0. 
  • Hardy, G.H.. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCCN 91-75377. 
  • Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. 1983.November, 56 (5): 307–314. 
  • Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP. 1994. ISBN 0674920961. 
  • Markushevich, A.I. Series: fundamental concepts with historical exposition English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian. Hindustan Pub. Corp. 1967. LCCN 68-17528. 
  • Alexander I. Saichev, and Wojbor A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. 1996. ISBN 0-8176-3924-1. 
  • Tucciarone, John. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. 1973.January, 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. 
  • Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications. Springer. 2003. ISBN 0387008365. 
  • Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. 1950.June. OCLC 38624384.