音乐同构

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学中,特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡,音乐同构Musical isomorphism典范同构 canonical isomorphism)是指(黎曼流形 M切丛 TM余切丛 之间的同构,这个同构由黎曼度量给出。不過一般地,只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式(比如辛流形上的辛形式)便可定义这样的同构。在帶有內積(或更一般的,非退化的雙線性形式)的有限維向量空間 ,這些同構自然給出了 和其對偶空間 之間的同構,在這種情況一般稱這些映射為典範同構(canonical isomorphosm)。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降

正式定义[编辑]

黎曼流形 M 的黎曼度量 是一个二階的对称正定张量场 。在任意一点 xM,黎曼度量會誘導出一個映射

這映射給了點 的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构,对任何切向量 Xx 属于 TxM,定義

其中符號 代表 流形上的黎曼度量。这意味着,

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

这是一个特别的微分同胚,在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 下,设度量矩阵为 ,逆矩阵为 ,向量場 。则这个同构會將映射到

这里使用了爱因斯坦求和约定

以上同构称为降号音乐同构flat)用符號表示,例如以上的函數可表示成:;而其逆運算称为升号sharp)用符號表示:降号下降指标,升号上升指标,(Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。升号用局部坐标表示为:

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式,任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构,对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中,这个同构非常重要,哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来[编辑]

同构 与其逆 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 來代替這些同構,比如 會寫成 會寫成 ,它们將指标向下、向上移动。例如,流形上的向量場 經過 映射會變成餘向量場:

這裡映射到,係數的指標從上到下,所以這運算用降號符號表示。

而餘向量 ,經過 運算會變成向量

所以指标向下、向上移动好似符号降号)与升号)下降与上升一个半音音高Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。

梯度、散度与旋度[编辑]

音乐同构可以用来定义 上无坐标形式的梯度散度旋度

这里 分別是 裡的函數跟向量場,霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999,p.135)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上,第一个等式便定义了以 f哈密顿量的哈密顿向量场。

此外,值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积外积联系起来,设 vw 中向量场,容易证明

参考文献[编辑]