音乐同构

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数学中,特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡,音乐同构Musical isomorphism典范同构 canonical isomorphism)是指(黎曼流形 M切丛 TM余切丛 T^{*}M 之间的同构,这个同构由黎曼度量给出。不過一般地,只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式(比如辛流形上的辛形式)便可定义这样的同构。在帶有內積(或更一般的,非退化的雙線性形式)的有限維向量空間 {\textstyle V},這些同構自然給出了 V 和其對偶空間 V^* 之間的同構,在這種情況一般稱這些映射為典範同構(canonical isomorphosm)。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降

正式定义[编辑]

黎曼流形 M 的黎曼度量 g=\sum_{ij}g_{ij}dx^i\otimes dx^j 是一个二階的对称正定张量场 g \in \mathcal{T}_2^0(M)。在任意一点 xM,黎曼度量會誘導出一個映射 \widehat{g}_x

\widehat{g}_x : T_x M \longrightarrow T^{*}_x M

這映射給了點 x的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构,对任何切向量 Xx 属于 TxM,定義

\widehat{g}_x(X_x) = \langle X_x,\cdot\rangle\in T^{*}_x M\ ,

其中符號 \langle\,,\rangle 代表 流形上的黎曼度量。这意味着,

 \widehat{g}_x(X_x)(Y_x) = \langle X_x,Y_x\rangle\ .

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

\widehat{g} : TM \longrightarrow T^{*}M\ ,

这是一个特别的微分同胚,在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 (U,x)下,设度量矩阵为 (g_{ij}),逆矩阵为 (g^{ij}),向量場X=\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} 。则这个同构會將X映射到

\widehat{g}:\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} \mapsto \alpha^i g_{ij}d\,x^j \ .

这里使用了爱因斯坦求和约定

以上同构称为降号音乐同构flat)用符號^\flat表示,例如以上的函數\widehat{g}可表示成:(\sum_i\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i})^\flat=\sum_{ij}\alpha^i g_{ij}d\,x^j;而其逆運算称为升号sharp)用符號^\sharp表示:降号下降指标,升号上升指标,(Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。升号用局部坐标表示为:

\widehat{g}^{-1}:\xi=\alpha_i d\,x^i \mapsto \alpha_i g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j}\ .

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式,任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构,对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中,这个同构非常重要,哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来[编辑]

同构 \widehat{g} 与其逆 \widehat{g}^{-1} 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 \flat,\sharp來代替這些同構,比如 \widehat{g}(X) 會寫成 X^\flat\widehat{g}^{-1}(\omega) 會寫成 \omega^{\sharp},它们將指标向下、向上移动。例如,流形上的向量場 \textstyle X=\sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i} 經過 \flat 映射會變成餘向量場:

(\sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i})^\flat=\sum_{ij}g_{ij}X^i dx^j:=\sum_j X_j dx^j\ ,

這裡\flat\sum_iX^i\frac{\partial}{\partial x^i}映射到\sum_j X_j dx^j,係數的指標從上到下,所以這運算用降號符號\flat表示。

而餘向量 \omega=\sum_i\omega_i dx^i,經過 \sharp 運算會變成向量

(\sum_i \omega_i dx^i)^\sharp=\sum_{ij}g^{ij}\omega_i \frac{\partial}{\partial x^j}\ ,

所以指标向下、向上移动好似符号降号\flat)与升号\sharp)下降与上升一个半音音高Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。

梯度、散度与旋度[编辑]

音乐同构可以用来定义 \mathbb{R}^3 上无坐标形式的梯度散度旋度


\begin{align}
      \nabla f        &= \left( {\mathbf d} f \right)^\sharp \\
      \nabla \cdot F  &= \star {\mathbf d} \star (F^\flat) \\
      \nabla \times F &= \left[ \star {\mathbf d} (F^\flat) \right]^\sharp
\end{align}

这里 f,F 分別是 \mathbb{R}^3 裡的函數跟向量場,\star霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999,p.135)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上,第一个等式便定义了以 f哈密顿量的哈密顿向量场。

此外,值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积外积联系起来,设 vw\mathbb{R}^3 中向量场,容易证明


\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left[ \star \left( \mathbf{v}^\flat \wedge \mathbf{w}^\flat \right) \right]^\sharp.

参考文献[编辑]