高斯符號

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Floor function.svg

高斯符號是一个数学符号,形式为方括号[x],表示不大於(等于或小于) x的最大整數,即x-1<[x]≤x。

高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《整數論研考》(Disquisitiones Arithmeticae)

运算示例:[3.14159]=3,[2]=2,[-2.5]=-3。

在计算机科学中,高斯符號常表示为INT()函数。

此符號之作用等同於地板函數(floor function), x的地板函數表示為\lfloor x\rfloor , 等同高斯符號[x]。

高斯符號的一些性质[编辑]

  •  \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1
当且仅当x是整数时,左面的等号成立。
  • 对于所有实数x,有:
 \left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor = \frac{1}{4} ((-1)^{\lfloor x \rfloor} -1 + 2 \lfloor x \rfloor)
 \left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor = \frac{-2}{\sqrt{3}} \sin(\frac{2\pi}{3}\lfloor x \rfloor +\frac{\pi}{3}) + 1
  • xn是正数时,有:
 \left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \geq \frac{n}{x} - \frac{x-1}{x}
  • 对于任何整数k和任何实数x,有:
 \lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.
  • 如果x是实数,n是整数,我们有nx当且仅当n ≤ floor(x)。
  • 利用高斯符號,可以产生许多素数公式(但没有实际用途)。
  • 对于非整数的实数x,高斯函数具有以下的傅里叶级数展开式:
\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.
  • 如果mn互素的正整数,那么:
\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2