生日問題

生日問題是指，如果在一个房间要多少人，則两个人的生日相同的概率要大于50%? 答案是23人。这就意味着在一个典型的标准小学班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。這個問題有時也被稱做生日悖論，但从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，它被稱作悖論只是因為这个数学事实与一般直觉相抵触而已。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

对此悖论的解释

可以把生日悖论理解成一个盲射打靶的问题。对于一个23人的房间，先考虑问题的补集：23人生日两两不同的概率是多少？为此，可以让23个人依次进入，那么每个人生日都与其他人不同的概率依次是1，364/365，363/365，362/365，361/365，等等。先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是... 345/365，344/365，343/365。可以把这种概率看成对一张靶的盲射：靶上有365个小格，其中有17个左右是黑格，其余是白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，那么连续射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日都两两不同）是多少呢？想必大家立即会感觉到这个概率十分微小。

理解生日悖论的关键，在于考虑上述“依次进入房间”模型中最后几个进入房间的人“全部都没碰到相同生日的人”概率有多大这件事情。

简而言之，大多数人之所以会认为23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%，是因为将问题理解为“其他22人与你的生日相同的概率”，而非问题本意“23人之中两两之间存在生日相同”。如果考虑到这一点，直觉上会将原来的概率乘以23（注意：此算法并不正确），则会意识到概率很大了。

概率估计

假設有n個人在同一房間內，如果要計算有兩個人在同一日出生的機率，在不考慮特殊因素的前提下，例如閏年、雙胞胎，假設一年365日出生概率是平均分佈的（現實生活中，出生機率不是平均分佈的）。

計算概率的方法是，首先找出p（n）表示n個人中，每個人的生日日期都不同的概率。假如n > 365，根據鴿巢原理其概率為0，假设n ≤ 365，则概率为

{\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={\frac {365}{365}}\cdot {\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}

因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日（概率是364/365），第三个人不能跟前两个人生日相同（概率为363/365），依此类推。用阶乘可以写成如下形式

{365! \over 365^{n}(365-n)!}

p(n）表示n个人中至少2人生日相同的概率

p(n)=1-{\bar {p}}(n)=1-{365! \over 365^{n}(365-n)!}

n≤365，根据鸽巢原理，n大于365时概率为1。

当n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：

n	p（n）
10	12%
20	41%
30	70%
50	97%
100	99.99996%
200	99.9999999999999999999999999998%
300	1 −（7×10⁻⁷³）
350	1 −（3×10⁻¹³¹）
≥366	100%

注意所有人都是随机选出的：作为对比，q(n)表示房间中有n+1个人，當中与特定人（比如你）有相同生日的概率：

q(n+1)=1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}

当n = 22时概率只有大约0.059，约高于十七分之一。如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日，n至少要达到253。注意这个数字大大高于365/2 = 182.5；究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。

数学论证（非数字方法）

在保羅·哈爾莫斯的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。为此，哈爾莫斯给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。乘积

\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)

等于1－p（n），因此关注第一个n，欲使乘积小于1/2。由平均数不等式可以得知：

{\sqrt[{n-1}]{\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)}}<{1 \over n-1}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)

再利用已知的1到n－1所有整数和等于n（n－1）/2,然后利用不等式1－x < e^−x，可以得到：

\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)<\left({1 \over n-1}\sum _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over 365}\right)\right)^{n-1}

=\left(1-{n \over 730}\right)^{n-1}<\left(e^{-n/730}\right)^{n-1}=e^{-(n^{2}-n)/730}

如果仅当

n^{2}-n>730\log _{e}2\cong 505.997\dots

最后一个表达式的值会小于0.5。其中"log_e"表示自然对数。这个数略微小于506，如果取n²－n=506，就得到n＝23。

在推导中，哈爾莫斯写道：

这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。^[1]

然而哈爾莫斯的推导只显示至少超過23人就能保证平等机会下的生日匹配。因为不知道给出的不等式有多強（嚴格、清晰），因此從這個計算過程中無法確定當n＝22時是否就能讓機率超過0.5。相反的，當代任何人都可以運用個人電腦程式如Microsoft Excel，幾分鐘就可以把整個機率分布圖形畫出來，對問題答案很快就有個通盤的掌握，一目了然。

泛化和逼近

生日悖论可以推广一下：假设有n个人，每一个人都随机地从N个特定的数中选择出来一个数（N可能是365或者其他的大于0的整数）。

p（n）表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?

下面的逼近公式可以回答这个问题

p(n)\sim 1-1/\exp(n^{2}/(2N))

。

泛化

下面泛化生日问题：给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数，至少2个数字相同的概率p（n;d）有多大?

类似的结果可以根据上面的推导得出。

p(n;d)={\begin{cases}1-\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-{k \over d}\right)&n\leq d\\1&n>d\end{cases}}

p(n;d)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2d}

n(p;d)\approx {\sqrt {2d\ln \left({1 \over 1-p}\right)}}+{1 \over 2}

p(n;d)=1-\left({\frac {d-1}{d}}\right)^{n}

反算问题

反算问题可能是：

对于确定的概率p ...

...找出最大的n（p）满足所有的概率p（n）都小于给出的p，或者

...找出最小的n（p）满足所有的概率p（n）都大于给定的p。

对这个问题有如下逼近公式：

n(p)\approx {\sqrt {2\cdot 365\ln \left({1 \over 1-p}\right)}}+{1 \over 2}

。

举例

逼近			估计N =365
p	n推广	n<N =365	n↓	p（n↓）	n↑	p（n↑）
0.01	（0.14178 √N）+0.5	3.20864	3	0.00820	4	0.01636
0.05	（0.32029 √N）+0.5	6.61916	6	0.04046	7	0.05624
0.1	（0.45904 √N）+0.5	9.27002	9	0.09462	10	0.11694
0.2	（0.66805 √N）+0.5	13.26302	13	0.19441	14	0.22310
0.3	（0.84460 √N）+0.5	16.63607	16	0.28360	17	0.31501
0.5	（1.17741 √N）+0.5	22.99439	22	0.47570	23	0.50730
0.7	（1.55176 √N）+0.5	30.14625	30	0.70632	31	0.73045　　　（正確值：n↓=29, n↑=30）
0.8	（1.79412 √N）+0.5	34.77666	34	0.79532	35	0.81438
0.9	（2.14597 √N）+0.5	41.49862	41	0.90315	42	0.91403　　　（正確值：n↓=40, n↑=41）
0.95	（2.44775 √N）+0.5	47.26414	47	0.95477	48	0.96060　　　（正確值：n↓=46, n↑=47）
0.99	（3.03485 √N）+0.5	58.48081	58	0.99166	59	0.99299　　　（正確值：n↓=56, n↑=57）

注意：某些值被着色，说明逼近不总是正确。

经验性测试

生日悖论可以用计算机代码经验性模拟

days := 365;
numPeople := 1;
prob := 0.0;
while prob < 0.5 begin
    numPeople := numPeople + 1;
    prob := 1 -((1-prob)*(days-(numPeople-1)) / days);
    print "Number of people: " + numPeople;
    print "Prob. of same birthday: " + prob;
end;

生日悖论也可以用Microsoft Excel Spreadsheet模拟, 其中A列表示人数,B列表示人数对应的生日相同的概率.

	A	B
1	1	=1-PERMUT(365,A1)/POWER(365,A1)
2	=A1+1	=1-PERMUT(365,A2)/POWER(365,A2)
3	=A2+1	=1-PERMUT(365,A3)/POWER(365,A3)

当你行数达到23(即人数)时，你可以看到概率结果开始大于50%.

应用

生日悖论普遍的应用于检测哈希函数：N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2^N次而是只有2^N/2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。

生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做捉放法（capture-recapture）的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。

不平衡概率

就像上面提到的，真实世界的人口出生日期并不是平均分布的。这种非均衡生日概率问题也已经被解决。^{[來源請求]}

近似匹配

此问题的另外一个泛化是求在 $n$ 个人中有两个人的生日同在 $k$ 日历天内的概率。假设有 $m$ 个同等可能的出生日。^[2]

{\begin{aligned}p(n,k,m)&=1-{\frac {(m-nk-1)!}{m^{n-1}{\bigl (}m-n(k+1){\bigr )}!}}\end{aligned}}

能找到两个人生日相差 $k$ 天或更少的概率高于50%所需要的人数：

$k$	$n$ for $m = 365$
0	23
1	14
2	11
3	9
4	8
5	8
6	7
7	7

只需要随机抽取7个人，找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。^[2]

参考

Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake"（某湖中鱼类总量估计），美国数学月刊45（1938年）, 348-352页
M. Klamkin，D. Newman: "Extensions of the birthday surprise"（生日惊喜的扩充）, Journal of Combinatorial Theory 3（1967年）,279-282页。
D. Blom: "a birthday problem"生日问题，美国数学月刊80（1973年）,1141-1142页。这一论文证明了当生日按照平均分布，两个生日相同的概率最小。

參考文獻

^ 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories
^ ^2.0 ^2.1 M. Abramson and W. O. J. Moser (1970) More Birthday Surprises, American Mathematical Monthly 77, 856–858

外部链接

[1] 原文：The reasoning is based on important tools that all students of mathematics should have ready access to. The birthday problem used to be a splendid illustration of the advantages of pure thought over mechanical manipulation; the inequalities can be obtained in a minute or two, whereas the multiplications would take much longer, and be much more subject to error, whether the instrument is a pencil or an old-fashioned desk computer. What calculators do not yield is understanding, or mathematical facility, or a solid basis for more advanced, generalized theories

[abramson-2] 2.0 ^2.1 M. Abramson and W. O. J. Moser (1970) More Birthday Surprises, American Mathematical Monthly 77, 856–858

[1]

[2]