初等代數 是一個初等且相對簡單形式的代數 ,教導對象為還沒有數學 算術 方面正規知識的學生們。當在算術中只有數字 和其運算(如:加 、減 、乘 、除 )出現時,在代數 中也會使用符號 (如:
x
{\displaystyle x}
、
y
{\displaystyle y}
或
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
)來表示數字 ,這些符號稱做變數 。這是很有用的,因為:
它使得算術等式 (或不等式 )可以被描述成定律(如:對任-
−
a
{\displaystyle -a}
和
b
{\displaystyle b}
,
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
),因此這是系統化學習實數 性質的第一步。
它允許涉及未知的數字。在一個問題的內容裡,變數或許代表某一還不確定,但可能可以經由方程的規劃及操縱來解開的數值。
它允許探究數量之間的數學關係的可能(如「若你賣了
x
{\displaystyle x}
張票,你的收益將有
3
x
+
10
{\displaystyle 3x+10}
元」)。
這三個是基本代數的主要組成部份,以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數 的不同。
在初等代數裡,表示式 包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項(習慣上)寫在表示左邊(參考多項式 ),舉幾個例子來說:
x
+
3
{\displaystyle x+3}
y
2
+
2
x
−
3
{\displaystyle y^{2}+2x-3}
z
7
+
a
(
b
+
x
3
)
+
42
/
y
−
π
{\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi }
。
在更進階的代數裡,表示式也會包含有初等函數 。
一個等式 表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立(如
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
);這種等式稱為恆等式 。而其他只有變數在某些值時才正確(如
x
2
−
1
=
4
{\displaystyle x^{2}-1=4}
,此一使等式成立的變數值則稱為這等式的解 。
初等代數定律
[1]
加法 是一可交換 的運算(兩個數不論順序為何,它加起來的總和都一樣)。
減法 是加法的逆運算。
減去一個數和加上一個此數的負數 是一樣意思的:
a
−
b
=
a
+
(
−
b
)
{\displaystyle a-b=a+(-b)}
例子: 若
5
+
x
=
3
{\displaystyle 5+x=3}
,則
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
。
乘法 是一可交換的運算。
除法 是乘法的逆運算。
除去一個數和乘上一個此數的倒數 是一樣意思的:
a
b
=
a
(
1
b
)
{\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right)}
冪 不是一可交換的運算。
但冪卻有兩個逆運算:對數 和分數指數的冪(如平方根 )。
例如:若
3
x
=
10
{\displaystyle 3^{x}=10}
,則
x
=
log
3
10
{\displaystyle x=\log _{3}10}
。若
x
2
=
10
{\displaystyle x^{2}=10}
,則
x
=
10
1
/
2
{\displaystyle x=10^{1/2}}
。
負數的平方根不存在於實數內。(參考:複數 )
加法的結合律 性質:
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
。
乘法的結合律性質:
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
.
{\displaystyle (ab)c=a(bc).}
。
對應加法的乘法分配律 性質:
c
(
a
+
b
)
=
c
a
+
c
b
{\displaystyle c(a+b)=ca+cb}
。
對應乘法的冪分配律性質:
(
a
b
)
c
=
a
c
b
c
{\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}
。
冪的乘法:
a
b
a
c
=
a
b
+
c
{\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}}
。
冪的冪:
(
a
b
)
c
=
a
b
c
{\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}
。
等於的定律
若
a
=
b
{\displaystyle a=b}
且
b
=
c
{\displaystyle b=c}
,則
a
=
c
{\displaystyle a=c}
(等於 的遞移律 )。
a
=
a
{\displaystyle a=a}
(等於的自反性 )。
若
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,則
b
=
a
{\displaystyle b=a}
(等於的對稱性 )。
若
a
−
b
=
n
{\displaystyle a-b=n}
,則
a
2
−
b
2
=
n
a
+
n
b
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=na+nb}
。
其他定律
若
a
=
b
{\displaystyle a=b}
且
c
=
d
{\displaystyle c=d}
,則
a
+
c
=
b
+
d
{\displaystyle a+c=b+d}
。
若
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,則對任一c ,
a
+
c
=
b
+
c
{\displaystyle a+c=b+c}
(等於的可加性)。
若
a
=
b
{\displaystyle a=b}
且
c
=
d
{\displaystyle c=d}
,則
a
c
{\displaystyle ac}
=
b
d
{\displaystyle bd}
。
若
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,則對任一c ,
a
c
=
b
c
{\displaystyle ac=bc}
(等於的可乘性)。
若兩個符號相等,則一個總是能替換另一個(替換原理)。
若
a
>
b
{\displaystyle a>b}
且
b
>
c
{\displaystyle b>c}
,則
a
>
c
{\displaystyle a>c}
(不等式 的遞移律)。
若
a
>
b
{\displaystyle a>b}
,則對任一c ,
a
+
c
>
b
+
c
{\displaystyle a+c>b+c}
。
若
a
>
b
{\displaystyle a>b}
且
c
>
0
{\displaystyle c>0}
,則
a
c
>
b
c
{\displaystyle ac>bc}
。
若
a
>
b
{\displaystyle a>b}
且
c
<
0
{\displaystyle c<0}
,則
a
c
<
b
c
{\displaystyle ac<bc}
。
例子
一元一次方程
最簡單的方程為一元一次方程,它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如:
2
x
+
4
=
12.
{\displaystyle 2x+4=12.\,}
其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除,以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了,等式的另一邊即是此變數的值。例如,將上面式子兩邊同時減去4:
2
x
+
4
−
4
=
12
−
4
{\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}
簡化後即為
2
x
=
8.
{\displaystyle 2x=8.\,}
再同時除以2 :
2
x
2
=
8
2
{\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,}
再簡化後即為答案:
x
=
4.
{\displaystyle x=4.\,}
一般的情形
a
x
+
b
=
c
{\displaystyle ax+b=c}
也可以依同樣的方式得出答案來:
x
=
c
−
b
a
{\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}
【這就是一元一次方程簡單的說明】
一元二次方程
一元二次方程 可以表現成
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
在這
a
{\displaystyle a}
不等於零(假如
a
{\displaystyle a}
等於零,則此方式為一次方程式而非二次方程式)。二次方程式必須保持二次的形態,如
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}}
,二次方程式可以通過因式分解 求解(多項式展開 的逆過程),或者一般地使用二次方程公式 。因式分解的舉例:
x
2
+
3
x
=
0.
{\displaystyle x^{2}+3x=0.\,}
這相當於:
x
(
x
+
3
)
=
0.
{\displaystyle x(x+3)=0.\,}
0和-3是它的解,因爲把
x
{\displaystyle x}
置為0或-3便使上述等式成立。
所有二次方程式在複數 體系中都有兩個解,但是在實數 系統中卻不一定,例如:
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0\,}
沒有實數解,因爲沒有實數的平方是-1。
有時一個二次方程式會有2重根,例如:
(
x
+
1
)
2
=
0.
{\displaystyle (x+1)^{2}=0.\,}
在這個方程中,-1是2重根。
線性方程組
在線性方程組 內,如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話,通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。
下面為線性方程組的一個例子,有兩個求解的方法:
4
x
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4x+2y=14\,}
2
x
−
y
=
1.
{\displaystyle 2x-y=1.\,}
求解的第一種方法
將第2個等式的左右項各乘以2,
4
x
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4x+2y=14\,}
4
x
−
2
y
=
2.
{\displaystyle 4x-2y=2.\,}
再將兩式相加,
8
x
=
16
,
{\displaystyle \,8x=16,}
上式可化簡為
x
=
2.
{\displaystyle x=2.\,}
因爲已知
x
=
2
{\displaystyle x=2}
,於是就可以由兩式中的任意一個推斷出
y
=
3
{\displaystyle y=3}
。所以這個問題的完整解為
{
x
=
2
y
=
3.
{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}
注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;
y
{\displaystyle y}
也可以在
x
{\displaystyle x}
之前求得。
求解的第二種方法
另一種求解的方法為替代。
{
4
x
+
2
y
=
14
2
x
−
y
=
1.
{\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}
y
{\displaystyle y}
的等值可以由兩個方程式中的其中一種推出。我們使用第二個方程:
2
x
−
y
=
1
{\displaystyle 2x-y=1\,}
由方程的兩邊減去
2
x
{\displaystyle 2x}
:
2
x
−
2
x
−
y
=
1
−
2
x
{\displaystyle 2x-2x-y=1-2x\,}
−
y
=
1
−
2
x
{\displaystyle -y=1-2x\,}
再乘上 -1:
y
=
2
x
−
1.
{\displaystyle y=2x-1.\,}
將此
y
{\displaystyle y}
值放入原方程組的第一個方程式:
4
x
+
2
(
2
x
−
1
)
=
14
{\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}
4
x
+
4
x
−
2
=
14
{\displaystyle 4x+4x-2=14\,}
8
x
−
2
=
14
{\displaystyle 8x-2=14\,}
在方程的兩端加上 2 :
8
x
−
2
+
2
=
14
+
2
{\displaystyle 8x-2+2=14+2\,}
8
x
=
16
{\displaystyle 8x=16\,}
此可簡化成
x
=
2
{\displaystyle x=2\,}
將此值代回兩個方程式中的一個,可求得和上一個方法所求得的相同解答。
{
x
=
2
y
=
3.
{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}
注意:這並不是解這類特殊情況的唯一方法;在這個方法裡也是一樣的,
y
{\displaystyle y}
也可以在
x
{\displaystyle x}
之前求得。
另見
參考
脚注
^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress . p.72-3. ISBN 0-486-66434-1 .