合数

在數論中，合數（也稱為合成數）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數。而0與1則被認為不是質數，也不是合數。例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成$2\times 7$。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...（OEIS數列A002808）。

性質

• 所有大於2的偶數都是合數，也就是在正整數中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
• 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（算術基本定理）
• 所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。
• 對任一大於5的合數$n$，$(n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}$。（威爾遜定理）
• 對於任意的正整數$n$，都可以找到一個正整數$x$，使得$x$、$x+1$、$x+2$、…、$x+n$都是合數。

合數的類型

分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，

$\mu (n)=(-1)^{2x}=1$

（其中μ為默比烏斯函數且$x$為質因數個數的一半），而前者則為

$\mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1$

注意，對於質數，此函數會傳回-1，且$\mu (1)=1$。而對於有一個或多個重複質因數的數字$n$，$\mu (n)=0$。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數$p$的平方，其正因數有$\{1,p,p^{2}\}$。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

合数也可分基本合数（有2和3因子的），阴性合数（$6n-1$形）和阳性合数（$6n+1$形）三种。

另見

• 完全數

相關條目

• 質數
• 質因數
• 最小公倍數
• 最大公因數