Freshman's dream

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形象化表達「Freshman's dream」的錯誤之處:上圖的正方形邊長為X+Y,正方形總面積為黃色正方形(=X2)、綠色正方形(=Y2),以及兩個常被忽略的白色長方形(=2×X×Y)。

Freshman's dream(中文可譯「新手之夢」)指的是錯誤方程式「 = 」,當中 是一個實數(通常是大於1的正整數)。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項[1][2]。其實只要假設 就可以簡單發現方程式並不成立:透過乘法分配律。至於 值更大的方程式,則可以使用二项式定理計算正確答案。

熱帶幾何的世界,加法取代了乘法,而极值取代了加法。在此情況下,「Freshman's dream」便是正確[3]

「Freshman's dream」也可代指另一項定理,,當中 質數,而 是在具有 特徵交換環上的代數。由於 能夠整除首項和末項以外的二項式係數,使中間的所有項都等於零,所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案[4]

歷史與別名[编辑]

1940年一篇有關模曲線的文章中,桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出,的特徵2「」有可能破壞中一新生的代數觀念。言論是可追溯的最早將「中一新生」與體的正數特徵[5],自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解,其中1974年湯馬士·亨嘉福英语Thomas W. Hungerford的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞[6]。別名包括1998年莊·法黎課本中的「Freshman exponentiation」(中文可譯「中一新生之冪」)[7];又鑑於可透過二项式定理計算,因而又被稱爲「小孩的二項式定理」(Child's binomial theorem[8]或「中學生的二項式定理」(Schoolboy binomial theorem[9]

至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用[10][11]

例子[编辑]

  • ,但.
  • (即 )在大多數情況下都不等於。例如:,而

質數定理[编辑]

質數,而 是在具有 特徵交換環上的代數,那麼 。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證:

n 個二項式係數為

由於分子階乘,所以可以被 整除。不過當 之時, 都少於 ,因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數,因此第 n 個二項式係數可被 整除,交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數,因此可證 。結果也證明 p 次方製造了自同态,又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态[8]

在此方程中, 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出,當 是質數的話,在多项式环中,。此定理成為現代質數測試中的關鍵[8]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
  2. ^ Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, ISBN 0-201-53467-3.
  3. ^ Difusión DM, Introduction to Tropical Algebraic Geometry (1 of 5), 2018-02-23 [2019-06-11], (原始内容存档于2020-06-17) 
  4. ^ How is (x+y)p≡xp+yp mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. [2020-08-12]. 
  5. ^ Colin R. Fletcher, Review of Selected papers on algebra, edited by Susan Montgomery英语Susan Montgomery, Elizabeth W. Ralston and others. Pp xv, 537. 1977. ISBN 0-88385-203-9 (Mathematical Association of America), The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 421 (Oct., 1978), The Mathematical Association. p. 221.
  6. ^ Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 121; also in Abstract Algebra: An Introduction, 2nd edition. Brooks Cole, July 12, 1996, p. 366.
  7. ^ John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 6th edition, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 and 438.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Granville, Andrew. It Is Easy To Determine Whether A Given Integer Is Prime (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY: 3–38. 2004-09-30 [2020-08-12]. (原始内容存档 (PDF)于2008-05-14). 
  9. ^ EGMO Training 2017 - Exponents (mod p) (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2017-11-19). 
  10. ^ 1800–1900 Search for "freshman's dream". Google books. 
  11. ^ Bentley's miscellany 26. 1849: 176.