伴随表示

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数学中,一个李群 G伴随表示adjoint representation)或伴随作用adjoint action)是 G 在它自身的李代数上的自然表示。这个表示是群 G 在自身上的共轭作用的线性化形式。

正式定义[编辑]

G 是一个李群 是它的李代数(我们将其等价于 G恒同元素切空间 TeG)。利用方程 g 属于 G,定义一个映射

这里 G自同构群自同构 定义为

对所有 h 属于 G

从而 Ψg 在恒同处的微分是李代数 的一个自同构。我们记这个映射为 Adg

所谓 Adg 是一个李代数自同构是说 Adg 的一个保持李括号的线性变换。映射

g 映为 Adg 称为 G伴随表示adjoint representation)。这确实是 G 的一个表示因为 的一个李子群且如上伴随映射是李群同态。伴随表示的维数与群 G 的维数相同。

李代数的伴随表示[编辑]

我们可以由李群 G 的一个表示通过在恒同处取导数变为它的李代数的表示。取伴随映射的导数

给出李代数 伴随表示

这里 的李代数,可以与 上的导子代数等同。李代数的伴随表示与这个代数的结构有基本的联系。特别地,我们可以证明

对所有 成立。详情请见李代数的伴随表示

例子[编辑]

  • 如果 G 是一个 n阿贝尔群G 的伴随表示是n平凡表示
  • 如果 G 是一个矩阵李群(即 GL(n,C) 的一个闭子群),则它的李代数是一个以交换子作李括号的 n×n 矩阵代数(即 的子代数)。此时,伴随映射由 Adg(x) = gxg−1 给出。
  • 如果 GSL2(R)(横列式为 1 的 2×2 实矩阵),G 的李代数由 0 实 2×2 矩阵组成。这个表示等价于 G 在两个变量二次型空间上通过线性替换给出的作用。

性质[编辑]

下表总结了定义中提到的不同映射的性质

李群同态:
李群自同态:
李群同态:
李代数自同态:
  • 线性
李代数同态:
  • 线性
李代数导子:
  • 线性

G 在伴随映射下的记为 AdG。如果 G 连通,则伴随表示的与 Ψ 的核相同,就是 G中心。从而,如果 G 中心平凡,则连通李群 G 的伴随表示是忠实的。进一步,如果 G 不连通,伴随映射的核是 G单位分支 G0中心化子。由第一同构定理我们有

半单李群的根[编辑]

如果 G 半单,伴随表示的非零组成一个根系。为了说明这是怎么回事,考虑特例 G=SLn(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

从而 TG 的李代数的对角部分上的作用平凡,在非对角元素上有本征向量 titj-1G 的根是权 diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为eiej 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比[编辑]

伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

余伴随表示co-adjoint representation)是伴随表示的逆步表示亚历山大·卡里洛夫Alexandre Kirillov)观察到任何向量在余伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学(另见卡里洛夫特征标公式Kirillov character formula)),一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考[编辑]