伴隨表示

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數學中,一個李群 G伴隨表示adjoint representation)或伴隨作用adjoint action)是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定義[編輯]

G 是一個李群 是它的李代數(我們將其等價於 G恆同元素切空間 TeG)。利用方程 g 屬於 G,定義一個映射

這里 G自同構群自同構 定義為

對所有 h 屬於 G

從而 Ψg 在恆同處的微分是李代數 的一個自同構。我們記這個映射為 Adg

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 的一個保持李括號的線性變換。映射

g 映為 Adg 稱為 G伴隨表示adjoint representation)。這確實是 G 的一個表示因為 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代數的伴隨表示[編輯]

我們可以由李群 G 的一個表示通過在恆同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

給出李代數 伴隨表示

這里 的李代數,可以與 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地,我們可以證明

對所有 成立。詳情請見李代數的伴隨表示

例子[編輯]

  • 如果 G 是一個 n阿貝爾群G 的伴隨表示是n平凡表示
  • 如果 G 是一個矩陣李群(即 GL(n,C) 的一個閉子群),則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數(即 的子代數)。此時,伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。
  • 如果 GSL2(R)(橫列式為 1 的 2×2 實矩陣),G 的李代數由 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性質[編輯]

下表總結了定義中提到的不同映射的性質

李群同態:
李群自同態:
李群同態:
李代數自同態:
  • 線性
李代數同態:
  • 線性
李代數導子:
  • 線性

G 在伴隨映射下的記為 AdG。如果 G 連通,則伴隨表示的與 Ψ 的核相同,就是 G中心。從而,如果 G 中心平凡,則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步,如果 G 不連通,伴隨映射的核是 G單位分支 G0中心化子。由第一同構定理我們有

半單李群的根[編輯]

如果 G 半單,伴隨表示的非零組成一個根系。為了說明這是怎麼回事,考慮特例 G=SLn(R)。

我們可取對角矩陣 diag(t1,...,tn) 的群是 G極大環面 T。用 T 中元素的共軛作用為

從而 TG 的李代數的對角部分上的作用平凡,在非對角元素上有本徵向量 titj-1G 的根是權 diag(t1,...,tn)→titj-1。這是 G=SLn(R) 的根系作為eiej 形式的向量集合的標準描述之說明。

變體與類比[編輯]

伴隨表示也能對任何域上的代數群定義。

余伴隨表示co-adjoint representation)是伴隨表示的逆步表示亞歷山大·卡里洛夫Alexandre Kirillov)觀察到任何向量在余伴隨表示中的軌道是一個辛流形。按照表示論中稱之為軌道方法的哲學(另見卡里洛夫特徵標公式Kirillov character formula)),一個李群 G 的不可約表示應該以某種方式用其餘伴隨表示標記。這種關係在冪零李群時最密切。

參考[編輯]