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希尔伯特第七问题

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希尔伯特第七问题希尔伯特的23个问题之一,此问题涉及无理数超越数

命题叙述

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给定以下两个等价[1]叙述:

  1. 等腰三角形中,若底角和顶角的比值为无理数的代数数,则底边和侧边长度的比值是否恒为超越数?
  2. 是无理数且为代数数、是非的代数数,那么(例如=)是否恒为超越数?

问题的解决

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第二个问题已于1934年由苏联数学家阿勒克山德·格尔丰德俄语Гельфонд, Александр Осипович证明,德国数学家西奥多·施耐德也在1935年独立证明此问题,他们证明的结果即为格尔丰德-施奈德定理是无理数的条件是必要的,否则若a是代数数,b是有理数,一定是代数数)。

若以广义的观点来看,这是通用的对数线性形(linear form in logarithms)的一个例子

格尔丰德曾研究对数线性形,后来被艾伦·贝克解决了,此称为是格尔丰德猜想或是贝克定理英语Baker's theorem。艾伦·贝克凭借此一成果获得1970年的菲尔兹奖

在第二个问题成立后,也意味着第一个问题成立。

参照

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参考资料

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  1. ^ Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (编). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8. 

文献

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外部链接

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