希尔伯特第七问题
外观
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希尔伯特第七问题是希尔伯特的23个问题之一,此问题涉及无理数及超越数。
命题叙述
[编辑]给定以下两个等价[1]叙述:
问题的解决
[编辑]第二个问题已于1934年由苏联数学家阿勒克山德·格尔丰德证明,德国数学家西奥多·施耐德也在1935年独立证明此问题,他们证明的结果即为格尔丰德-施奈德定理(是无理数的条件是必要的,否则若a是代数数,b是有理数,一定是代数数)。
若以广义的观点来看,这是通用的对数线性形(linear form in logarithms)的一个例子
格尔丰德曾研究对数线性形,后来被艾伦·贝克解决了,此称为是格尔丰德猜想或是贝克定理。艾伦·贝克凭借此一成果获得1970年的菲尔兹奖。
在第二个问题成立后,也意味着第一个问题成立。
参照
[编辑]- 格尔丰德-施奈德常数 。
- 格尔丰德常数 。
参考资料
[编辑]- ^ Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (编). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8.
文献
[编辑]- Tijdeman, Robert. On the Gel'fond–Baker method and its applications. Felix E. Browder (编). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. American Mathematical Society. 1976: 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026.
- Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 49 Second. 2007: 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.