希尔伯特第十四问题

希尔伯特第十四问题是希尔伯特的23个问题之一。它探讨某些有理函数域中的子环的有限性问题。令$k$为一个域，$k\subset K\subset k(X_{1},\ldots ,X_{n})$。令$R:=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cap K$，希尔伯特猜想$R$是有限生成的$k$-代数。

历史

此问题源自不变量理论。具体而言，假设群$G$作用于n维仿射空间$\mathbb {A} _{k}^{n}$，或者等价地说，作用于多项式环$k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$。为了研究商空间$\mathbb {A} _{k}^{n}/G$，必须考虑：

$R:=k[X_{1},\ldots X_{n}]^{G}=\{f\in k[X_{1},\ldots X_{n}]:\forall g\in G,g\cdot f=f\}$

希尔伯特本人证明了$G$是某些半单李群的情形，包括$GL_{n}$。美国犹太人数学家奥斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski）在1954年证明了$n=1,2$的情形。对于一般的状况，日本数学家永田雅宜（永田 雅宜）借着考虑某些线性代数群的作用而在1959年造出反例。

基于美国数学家蒙福德（David Bryant Mumford）提出的假设，可以推出：若$k$是代数封闭域，且$G$是定义在$k$上的可约群，则$R$是有限生成的。此假设已在1975年由美国数学家威廉·哈伯什（William J. Haboush）证明，并由印度数学家C. S. 瑟哈里（C. S. Seshadri）推广。

参考文献

• W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive Ann. of Math. , 102 (1975) pp. 67–83
• D. Mumford, Geometric invariant theory（1965）, Springer ISBN 3-54-056963-4
• D. Mumford, Hilbert's fourteenth problem - the finite generation of subrings such as rings of invariants F.E. Browder（ed.）, Mathematical developments arising from Hilbert problems , Proc. Symp. Pure Math. , 28 , Amer. Math. Soc.（1976） pp. 431–444
• C.S. Seshadri, Geometric reductivity over arbitrary base Adv. Math. , 26 (1977) pp. 225–274